PP
où les quantités P et P ont pour expression
P = I — lax — iby — . . . — a/w H- a' -H 6* H-. . .-f- /*, P' = i-— la T — %b'y -. . .— a/'a -4- a'*-»- 6''-H. . .-4- /'*,
et l'intégration devant être étendue à toutes les valeurs des variables x^ y^ . . ., u^ qui satisfont à la condition
En posant Q =(1 — ax—by — ...— /a)* — (a*-h 6»-h...-H/»)(ar»-4-^*-4-...-4- u» — i), la même question exige aussi la détermination de l'intégrale
" J J ' J PVQ
entre les mêmes limites que la précédente. Me bornant au cas de deux variables seulement, et en employant les méthodes élémentaires, je vais développer le calcul par lequel on obtient leurs valeurs.
3l4 (EtVRES DE CHARLES HEKIIITB.
Soit, pour abréger,
j'introduirai comme auxiliaire un angle 0 défini par les égalités
aa! -h hV . ha! —ah' . ^
. — = cosO, ; = sinQ,
rr rr
et je ferai un premier changement de variable, savoir
a\ -+- bri bi — axi
pA lequel l'intégrale A prendra cette forme plus simple
,/ J (i — ar{ -hrMfi — ïr'({cose-f-T, 8in6)-^-r«|
Les limites d'ailleurs seront déterminées comme précédemment par la condition
de sorte que l'intégration par rapport à r, devra s'effectuer depuis T, = — yj\ — \^ jusqu'à Tj = -f-y''i — Ç=*. On trouve ainsi pour résultat
i I . I — > /•' ( \ cos 6 — v/ 1 — {* sin 6 ) -K r*
et r'est cette expression qu'il reste à intégrer de ;= — i à ;=-^'« Vax posant
on obtiendra pour \ la valeur sui>ante
A = ■ . . 1 ii-z, : r l*»S ; ■ ? T»
ou plutôt, en multipliant el di\isant par /*, . I li^ f<\w^ I 2r' co5( 5 — 0 I— r*
iVtlo inlôj;rale dôtinio se trou>o aisément, comme on va \t>ir.
SUR DEUX INTÉGRALES DOUBLES. 3l5
Je supposerai expressément que r et r' sont tous deux moindres que l'unité, de manière à pouvoir faire usage de ces développements :
rsin© , . • . ,
= rsino -h r' sinso-h r' sinSç -♦-. ..
I — arcosçp-hr» ^ ^
log[i — ir' co8(^-H 8)-»- r'*]
= r'cos(<p-h6)H cos2(<î>-i-6)-4- — cos3(<p H- 6)H-. . .
log[i — 'ir' cos(^ — 6)-4- r'*]
= r' cos(<p — ^)-{' -— cos2(çp — 6)-+- -r-cos3(çp — 6)-h.. ..
On conclut des deux derniers
i. I — 'ir' cos(çp -f- 6)-»- r'* 4 ^^ I — 2r'cos(o — 6)H- r'*
= r' sinçp sin6 H sinscp sinaO + — sin3çpsin36 -h. . .,
de sorte que l'on est amené à intégrer entre zéro et u le produit de deux séries
(rsinç -H r« sin-ji^p -h r* sin3«p -*-. . .)
r' sin© sinO H sinuo siniiO -h — sin3çp sin38 -h. . . ].
Or, en vertu des relations,
Jf ^<psinmcp sinncp = o,
on obtient ainsi, pour la valeur de A, ce développement
/ ptr'* r*r'^ \
r: { rr sinO -h sinaO H r— sin36 H-, . . j,
bà — ab' et, d'après les formules connues, on en conclut immédiatement
. Tt I , I — rr' e-^^^
A = T — ', T, — : log ^=- •
Sl6 0EVVRB8 DE CHARLES HBRMITB.
Observant enfla que l'on peut écrire successivement
, I — rr'e-^^^ . i — rr'(cos8 — / — i sinO) log = log ^ i. .
I — rr' e^"^ i — rr'(cos6-+-/ — i sin6)
rr' siaO
, I — rr cos
= Iog
rr' Mn6 j
I — rr' cos 8 '^
ba'-^ab' , i — aa — bb
' ,aa'— 66'
on arrive définitivement à ce résultat très simple
. Tc ba' — ab'
A = T— 7 r7 arc tang ; 777.
ba ^ab ^ 1 — aa — bb
Je considère en second lieu l'intégrale B, savoir
dx dy
'If —
elle devient d'abord, par la substitution linéaire,
'^ ^ (1 — •2r'{-hr'«)[(i— rcose^ — rsineti)* — ({«-4-V— i)r«]»
ce qui conduit à intég;rer, en premier lieu, par rapport à la variable 71- Il convient, à cet eflet, d'employer des logarithmes imaginaires, en se servant de la formule
C dx 1 , /Aa--i-B . \
et en remarquant que les valeurs limites de r^ donnent Ç*-|-r,^ = i, la racine carrée placée sous le signe logarithmique pourra *'#»xlraire et deviendra simplement
I — r cos 65 — rsinÔTi.
SUR DEUX INTÉGRALES DOUBLES. 3l7
Quelques réductions faciles à voir donneront pour résultat de cette intégration, par rapport à ri, entre les limites r, = — ^\ — Ç^, r^-=-\-yJ\ — 5*, la quantité
I ' • log ' - r cose(^ -v/~v/7ir^)
et il s^agit de l'intégrer par rapport à i entre les limites Ç = — i ,
Je ferai comme précédemment
{ = cos«p,
^^e qui donnera, après avoir multiplié et divisé par r', Tintégrale définie
rr cos^ J^ ^i — ar cosîp -4- r' ^/ZTY i —
— rcosee-?"--*
rcosO^?^-»
et, en admettant toujours la supposition déjà faite de r et r' moindres que l'unité, je ferai usage des développements
r sin<p
I — ar cosïp -h
-7^ = r' sinçp -h r'* sinao H- r'» sinSîp ■
I , 1 — rcos6«-?*'^ :log
^ . r* cos« 6 . r' cos» 8 . ^ = rcosO smçp H sinaç H r sm3(p -h. . ..
Maintenant, si Ton intègre entre les limites zéro et n le produit des seconds membres, on trouvera immédiatement
ir r , ^ ( rr' cos 8 )« ( rr' cos 8 )• 1
rr cos8 L ^ 3 J
c'est-à-dire
^^ rr'cos8*''^i-rr'cos8 "^ aa' -h 66' *^^ ( i oa'— 66' / '
C'est le résultat que je jne proposais d'établir; je me borne en ce moment à remarquer que les constantes a, 6, a', b' n'y entrent que par les produits aa' et 66', de sorte que l'intégrale ne change
3l8 OEUVRES DE cHAHLES HERMITB.
pas en y remplaçant a et a' par y> a!t^ et 6 et é' par — > b' u. Relativement à A, il est possible seulement de changer a et é, d'une part, en a^, bf, a' et 6', de Tautre, ^ï* y y* ce sont ces propriétés
qui servent de point de départ à Textension aux fonctions de plusieurs variables de la théorie des fonctions X;, de Legendre.
SUR
Comptes rendus de l* Académie des Sciences, t. LX, i865(I), p. 370, 43'2. 461 et 5ia.
I^es recherches que j'ai eu Thonneur de communiquer à l'Académie sur les dérivées des divers ordres de l'expression
Du o(^, y, 5, . . .) représente une forme quadratique définie et positive, et dont se tire un mode de développement en série de fonctions de plusieurs variables (* ), m'ont amené à faire une étude attentive des fonctions X„ de Legendre, comme offrant l'exemple le plus important et le ty|)e des propriétés que j'ai remarquées dans les polynômes \}n,n\,n%... définis par l'équation
J'ai été ainsi conduit à une généralisation sous un nouveau point de vue de ces fonctions X„, je veux dire à un système de polynômes d'un nombre quelconque de variables ayant une même origine que ceux de Legendre, ce qui n'avait pas lieu pour les quantités U«^n,/i', ...î et à l'égard desquels on retrouvera la plupart des
(*) Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. LVIII, séances du 11 janvier et du 8 février. Voir aussi Hkrmite, Œuvres, t. II, p. 293.
320 OEUVRES DE CHAHLES HKRIIITB.
propositions de Tillustre géomètre, et même l'analogue du beau théorème de Jacobi, savoir :
Xn =
