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Ce système de polynômes, et un autre qui s'y joint immédiatement, conduisent à des développements de fonctions de plusieurs variables, x^y^ z, . . ., dans l'étendue limitée par la condition

ou plus généralement

le premier membre de l'inégalité étant une forme quadratique définie et positive. La méthode si féconde et si connue depuis Fourier, consistant à déterminer les coefficients par l'intégration après avoir multiplié la fonction par un facteur convenable, s'applique encore dans ces nouvelles circonstances, mais avec une modification qui semble caractéristique pour les fonctions de plusieurs variables. L'intérêt de ces nouveaux développements, d^ailleurs, consiste surtout en ce que les variables y sont traitées simultanément, de sorte qu'ils ne résultent pas, comme le plus souvent, de l'application répétée du même procédé sur chacune des quantités x, y^ j, ..., successivement considérée comme variable unique. Knfin on peut présumer que ces polynômes donneront la solution de questions de inininiuin ou d'interpolation du genre de celles qu'a traitées iM. Tcliébichef, et cette étude a été amenée, je dois le dire, par diverses questions que m'a posées plusieurs fois sur ce sujet notre savant confrère.

1/expression

I — '}.ax -^- a',

qui donne naissance aux fonctions de Legendre et aux formules Irigonométriques pour la multiplication des arcs, daprès ces rela-

lions,

{i — 'iax-^a^)'* = ^a^X;t,

/ ,. 1 V^ ^sinr(/i-hi)arccosar]

se prêle au mode de généralisation découvert par Gôpel et M. Rosenhain pour passer des séries elliptiques de Jacobi aux fonctions abéliennes d'un nombre quelconque de variables. En comparant en effet ces deux expressions

on est amené naturellement à Tétendre de celte manière \ — lax — iby -h ga*-^ ihab -h ^'6*,

OU bien, avec n variables, x, j^, 5, . . ., w

I — lax — x by — ... — 2 Am -f- çp ( a, 6, c, . . . , A),

o{a^ b^c^ , , .^ k) étant un polynôme homogène et du second degré en a, 6, ..., A*. Mettant, avec une indéterminée de plus, sous forme homogrne,

h — lalx — ibly -H. . . — iklu -h çp(a, 6, . . . A:),

nous considérerons également sa forme adjointe ou contrevarianl quadratique qu'on obtient aisément comme il suit. Soient

*l{a,b, ..., A-) la forme adjointe de o, A son invariant, en faisant, pour abréger,

/ , . I / rf^V d^ d^\

on trouvera pour résultat

[/A-x(«,6, ...,A-)p-iKa,6, ...,A)[iKa-,7, ...,i/)-Aj.

Tels sont les éléments algébriques qui serviront de point de départ

à nos recherches; nous nous bornerons toutefois à deux variables

et au cas le plus simple où l'on suppose

ce qui conduit aux quantités

I — 2aar— xhy -4- a* -h 6', (i — aa: — 6^)» — (a«-f. 6«)(ar«-i- j^«— 1)

= I — 2ax — ikby -h a' Ci — ^')-h lahxy -h 6'(i — ar*).

Cela posé, les fonctions dont nous allons étudier les développements sont les suivantes que nous réunissons en deux groupes,

savoir :

(i — lax — iby -h a'-h 6*)->,

i [i — lax — ihy -h a>{\ — y^)-^ •labxy ■+• b^{\ — a?*)] *,

et en second lieu

( I — 2 <ij: — 2 by -+- a* -h 6» )~ ï,

(1 — a?' — ^')^[i — lax — xby -+- ««(i — ^«)-«- 2a6a?^-h 6*(i — j?*)]-».

Leur analogie avec les fonctions d'une variable, qu'elles comprennent comme cas particulier en supposant é = o et j^ ^ o, se rapporte donc à la fois aux polynômes de Legendre, et aux formules pour lu multiplication des arcs dans la théorie des fonctions circulaires.

Soit en premier lieu

( I — jax — >. h y -T- <i* -r- h^ y ' = \ a"* b'* V,„,„.

On reconnaîtra iininédiatement que \ /«,« esl un polynôme entier en X i'iy. du ilo^ré m -\- /i, mais ayant x^y" pour seul et unique terme do ce do^ir. On aura par exemple

' 0.0 ^^ I , V,.o= ÎJ-»

ei

Vo.,= 8j.»- 4r.

Vj,i = 64a?V— ^"t-rx,

Vj,j= 96 x'/*— laar* — 12/' h- 2,

Vi,3=64x7»— 24^^,

Vo,i^ 167*— 12^»-+- I,

Réciproquement on pourra exprimer x'"j^" en fonction linéaire de V//,,/, et des polynômes du degré moindre, de sorte que la formule

Xi ^/w,/i *" m,n

représentera, en déterminant convenablement les constantes, tout polynôme entier en x et y. Voici maintenant leur propriété fondamentale.

Considérons l'intégrale double

les variables étant limitées par la condition

Un calcul, pour lequel je renvoie aux Annales de ^ Ecole Normale supérieure (année i865) (*), conduit à la valeur