ab' — bn

A = —r-, j — ; arc lanj;

ab' — ba ^\ — aa' — bb'

On voit que cette expression ne change pas en y remplaçant a et 6 par at et bt^ a' et b' par — -, — > de sorte que t doit disparaître dans rintégrale

i j dx dy^ a"'b^t'n-^n\ ^^^^^a'V-b'^ t V'-'*W^^y,

( •) Voir aussi Hermite, Œuvres^ i. II, p. 3i3.

>i-i OEUVRES DE CHARLES HBRIIITE.

Cela exige que Ton ait

entre les limites

lorsque les degrés m + /i et [a -f- v sont différents. Cette proposition met sur la voie d'un développement tel que ^Am,/iVm,« pour

toute fonction F(x,y)^ les variables étant assujetties à la condition x^-\-y^=i' Elle ne suffit pas toutefois pour la détermination des coefficients, et c'est en ce moment qu'il est nécessaire de considérer la seconde fonction dont nous avons parlé, à savoir

[i — y.ax — iby -^ «'(i— >^*)-H 7.bxy-^ 6«(i — j?«)]~*.

Désignons par \}m,n les polynômes entiers en x et y^ du degré m j- n^ ayant pour origine le développement

1 1 — xax — iby -^ a*(i — J^')-4- 7,abxy-^b^{i — a:*)]"* = \]a'»6'»Um,n»

et dont voici les premiers

Uo,o= I, 1^3.0= ^(5ar»-h3x7î— 3x),

u,,o = ^, Um= \{'^r^y^y^-yh

L'intégrale double, prise comme précédemment entre les limites

8ÉRIB DE FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES. 3i5

^2|^2<,^ savoir

B= Ç Ç dxdy{i — ia'x — iby^a'^+b'^)-y

x[i — ^ax — -xby -+- a*(i — J'*)-+- labxy -f- 6*(i — a?*,)]" », va nous donner leur propriété fondamentale. On trouve en effet

^ = >*^ if 1*^*0 : TTr >

ua -h «6> ° I — aa — 66

valeur qui ne change pas en y remplaçant a, 6, a', 6', par at^ buj --> — • Il en résulte qu'on a généralement

/ 1 dxdy\,n,nl^^,^=^o,

si les indices m et jjl, /i et v ne sont pas égaux en même temps; et, dans l'hypothèse contraire, on obtient

r r t , ^T wi ^ /i -f- i./i -h 2. . ./i -h m J J ''^'<>'V„,.„U„,,,= ^^„^, ^7^777;;^

Nous pouvons donc déterminer maintenant par la méthode ordinaire les coefficients du développement considéré plus haut, savoir

on trouve ainsi

J J rf^'^>-F(^..y)U»..n=^^^^. ;-^-3;j^ A,„.,.

l'intégrale étant prise entre les limites x^'\-y^S\] et c'est dans l'obligation d'introduire le facteur Um,/i différent de V/n^/i, que consiste d'une manière générale, nous pensons, à Tégard des fonctions de plusieurs variables, la modification caractéristique dont nous avons parlé en commençant. On pourrait également poser

mais c'est au premier développement que nous nous attachons de préférence, la nature du polynojne Um,« permettant de reconnaître immédiatement que la valeur de ^m,n tend vers zéro quand m et n

i«(> OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

au^iueiileiit. Cela résulte effectivement, comme nous le verrons, i\v Toxpression suivante

'"'" I.7.. ..m.i.2.../i.v.'"-^« dx"' dy '

ttur nous allons établir.

La série donnée par Lagrange pour la résolution de Téquatio^

i'\'sl-à-dire

a^ df*(x)^'(x) (1^ d\f^(x)^'(x) ^