I . a dx i .i.i dx

poul (hve pn»senlée sous une autre forme qu'il est nécessaire d'élir l»l!r pour l'objet que nous avons en vue. Supposons d'abord x = o a ^ I , je récrirai de cette manière

ou rncoro

v\\ rrmpiaçanl o'{z) par o(z). Maintenant faisons

/{z)= V\x-^az), Q(5) = ^{X -r- az).

w (|ni donnera o\idemment

/ *h{r \- €f3\ dz

ti dV^iX\^i.r\ a^ d-V^t X \^i x\

^ i.i dx i.n.i dx*

En différenliant par rapport à x^ on en conclura a dx ^ *

dir 1.2 <i:r*

et en simplifiant

I dx 1.2 aar'

Mais, Téquation en z étant maintenant

z — F(ir -+- a«)= 0,

DU en tire

dz i-f-a-r- =

dx I — aF'(ir-4-az)

de sorte qu'en posant

^{ z)= z — F{x -i- az)j

il viendra en dernier lieu

^(x-^az) .. . a d¥{x)^(x) a» </« F«(jr)4>(^) ^'(^) ^ ^ I dx 1.2 rfa?»

Sous cette forme nouvelle, on peut appliquer à la série de Lagrange le procédé qu'on emploie dans les éléments pour étendre aux fonctions de plusieurs variables la série de Taylor

F(ar-+-A)=F(ar)-h-F'(ar)-f--^F''(ar)-h....

Ainsi on fera d'abord a: := o, a = i , se servant de ce cas particulier pour y introduire, au lieu de ^{z) et ^(-s), les fonctions

¥{x -ir az^ y -ir bz), ^(x -^ az^ y -^ bz)^

ît l'on parviendra à ce développement où l'on a mis, pour abréger, i^ et 4> dans le second membre au lieu de ¥{x^y)^ ^{^}J')y

savoir :

^^F'l> ^ rf*F«* H-6— j — -4- a6 -7 — :ï h.. .

6* rf«Fî*

OU bien

j'(-\ ~.^ 1.2. . .//i. I .-2. . .n dx»*^dy*^

l'équation en z étant

Cette conséquence de la formule de Lagrange donne le théorè que nous avions en vue d'établir; supposant en effet

et remplaçant a et 6 par —, —, Téquation devient

On en tire

§'(^z) = [i^7.ax — iby-Jt-a^{i—y^)-\-'iabxy-^ 6*(i — ar*)p, €t, par suite,

[i — 9.ax — nby -h a*(i — y^)'\-7.abxy -^^ 6'(i — ar')]" *