m. 1.2. . .n.2'""^'* dx'" dy

Voici ce qui résulte de cette expression pour les polynômes U,,,, .

En premier lieu, on a comme pour V„,^„ la relation 1 / rfa7d[^U;n,„UpL.v=o,

avec la condition

quand m -^ n n'est pas égal à [/. 4- v. Nous le déduirons de la formule suivante

J ^^^ dx»^ ^ ~" c^"-» dx dx'^ * "^ dx^ dx"^-^ qui donne

in supposant que a et 6 annulent ^{x) et ses n — i premières iérivées. Considérons, en effet, l'intégrale double

J J dTdjrF(.,j') ^^,«V

mvec la condition

x^-hy^'^ï,

et commençons par rapport à la variable y l'intégration qui devra être faite entre les limites — \/i — x'-*, -H v/» — ^^- On aura

j^^ 'iy^(-'y) — h^>

de sorte qu'on peut écrire

Opérant en second lieu sur la variable Xj comme on l'a fait sur^, on aura

J Jd.dyF(a:,y) L^

33o (Cl'VRES DE CHARLES HERMITE.

et la proposition annoncée s'ensuit en prenant

et supposant jjl -h v < m -h /?, ce qui annule évidemment le second membre. Il en résulte, comme on le montre aisément, que le polynôme \Jm,n est une fonction linéaire des divers polynômes Vm^^êj V;„^.;,i^,, . . ., Vo,m+iï, de degré m -h n.

Considérons en second lieu le terme général du développement de la fonction quelconque F(x^y) sous la forme

savoir :

t: m -h i ,ni -h 'à. , .m •+-

- Kn.n= f f dx cij'F(x, jr)\]^,n

Kn appliquant la même formule au second membre, on en déduira