it -4- /i . a*"-^" A

j '''"'^ dx-ndy- (x^-K^.-.)-^-

/ / > fixfn dv"

ce qui introduit sous los signes d'intégration les puissances d*un fadeur moindre que l'unité, et qui sont d'autant plus petites que les indices m et n sont plus grands. Comme on trouve aisément d'ailleurs

/ / tfrtfy(i — x^—y-)"-'— .

fffn-^n pi j" y)

on aura, si l'on appelle >:«.„ le maximum de l'expression — ^ m i «

sous la condition x- — r'-^^i, cotte limite supérieure fort simple de A„.„, savoir

Kn supposant donc que — '"'•' ''^ - ne dépasse jamais une

SÉRIE DE FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES. 33l

cerlaîne constante Ar, les termes du développement considéré ^^\m,n^^m,n ne dépasseront pas non plus ceux de la série suivante

T.'préientant la fonction dan*^ riijpothèse

rt = - et 6 = - • •z 1

Mais d'autres propriétés du polynôme \im,n vont encore nous montrer, et indépendamment de la transformation précédente, que la valeur de Au,^,, diminue quand les indices augmentent.

On sait que la fonction X„ de Legendre reste, quel que soit /?, numériquement moindre que l'unité lorsqu'on fait varier :r de — i à -+- I , et que l'équation X« = o admet entre ces mêmes limites /i racines réelles et inégales. Par conséquent, dans l'intégrale

F(;r) se trouve multiplié par un facteur qui change n -h i fois de signe entre les limites et sans dépasser l'unité. Or, aux infiniment petits près du second ordre, une fonction prend des valeurs égales et de signes contraires avant et après son passage par zéro, la fonction F(x) variant alors infiniment peu, on voit que le facteur X„ a pour effet d'amener dans le voisinage de ses racines des éléments de l'intégrale infiniment peu difl'érents et de signes contraires, d'où résulte que l'intégrale diminue de valeur quand le nombre de ces racines augmente. Des considérations semblables s'appliquent à l'intégrale double

J JdxdyV{T,y)\}„,^n.

332 OBCVIES DE CHA1LE8 HEIMITE.

dont les limites sont déterminées par la condition

et reposent sur les propriétés suivantes du polynôme Um,».

Supposons que les variables x et i' représentent des coordonnée» rectangulaires, la courbe donnée par Téquation U«^„= o, abstraction faite du facteur x ou y^ suivant les cas, sera toute comprise dans l'intérieur du cercle x*-+-jk*='; de plus, elle sera rencontrée en m points par une parallèle à Taxe des abscisses, «"^ en n points par une parallèle à Taxe des ordonnées. Ce sont les changements de signe du facteur U»,/,, résultant de ces intersections, qui amèneront dans les intégrations relatives à x ou à^ !<§ mêmes conséquences et la même conclusion que précède riment (*).

Le premier point résulte d'une forme de développement <3e l'expression

[i— 7.ax — 2 6^-»-a*(i— ^*)-f- 'y.ahxy-\- 6*(i — x«)]~*, qui s'obtient de la manière suivante. Soit pour un instant

1 — ax — hy'* elle pourra s'écrire ainsi

ce qui donnera la série

Faisant encore

aj -î- 6 V = 5,

(') Je dois faire remarquer toutefois une difTérence en ce qui coaceme \C maximum de U^ . égal à l'unité lorsque Tua des indices est supposé nul, et donL Texpression générale est

1 . 2 ... m -h n / m \« / n \* i.j...m.i.a.../i\m-H/i/ \m -h nj

de manière à avoir

cl, par suite, du I d*u ^ 1.2 d^u ^ i.'>., , .n

ou bien

du ^ d*u , d'^u

en remplaçant les puissances de u par les dérivées, cette série deviendra

Cela posé, nous en déduirons l'ensemble homogène des termes ^c degré A: en a et b, en développant, suivant les puissances de c, la quantité

ainsi que ses dérivées

du 'y^^ t/*a v^ , ^ .

Par là on obtiendra cette expression dont la loi est manifeste :

De sorte qu'en mettant au lieu de z sa valeur ax-h by, on sera conduit à la relation suivante

= (ax -f- 6^)^-4- ^^^ 7" '^ - (^'-^ 6«)(3'^-^J^«~l)(aa^ -^ ^>^)^-«

Elle met immédialemenl ce fait en évidence, que pour des valeurs positives des coordonnées, rendant positive la fonction -P^-hy^—i, toutes les quantités Ua,oî 1^'a-i,i, .-, Ui,a,, U»j seront également positives. OrU/,,,,/, suivant ces quatre cas, savoir:

} (moda), n == o /i ^ o n 3s I /i == I )

ajant pour expression

F(^»,>^»), a:F(x^,jr^), yVix^^jrt)^ xyF(x\jy'^),

ne pourra par conséquent jamais s^annuler, quel que soit le signe des coordonnées, abstraction faite du facteur x ou y^ qu^en supposant x^-{-y'^ — I •< o, ce qui démontre notre proposition.

Pour en donner un exemple, considérons la courbe Uw,o^= ^î on vérifiera aisément qu'elle est composée, suivant que m est pair

ou impair, de — ou — ; — ellipses ayant pour équations ~ -\-y' = i ,

où p est une des racines du polynôme X,,, de Legendre. Ces racines •étant moindres que l'unité, les diverses ellipses sont bien effectivement comprises dans le cercle

Démontrons en dernier lieu qu'une parallèle à l'axe des y^ par -exemple, rencontre en n points la courbe U,«,n=o, et remarquons à cet effet qu'on peut poser

<T^'" ( .rî -4- )'2 -1)'//^/ . .

un désignant par Z une fonction entière en x cly. Il en résultera

j I (/'ix^-hy'^ — iy'7,

et sous cette forme le tliéorème de Rolle suffit pour montrer que, par rapport \\y^ l'équalioii T,,^ ,, = o admet n racines réelles comprises entre les limites — y'i — x-, -\-\\ — jc^. Notre courbe esi ^lonc cirectiveineuL rencontrée en n points par Tune quelconque des ordonnées du cercle x^-j- >'-=i i .

La même démonstration s'applicpicra d'ailleurs à une parallèle à l'axe (les x.

SERIE l>K FONCTIONS DK PM'SIRURS VARIABLES. 335

Nous avons cherché à montrer, dans ce qui précède, l'analogie des polynômes à deux variables \Jm,n avec les fonctions de Legendre, et sous ce point de vue le fait le plus caractéristique s'est trouvé dans la relation

si semblable à l'expression donnée par Jacobi,

\ ,1. . .ti.i' dx"

Maintenant nous devons considérer les fonctions ayant pour origine le développement des quantités

(i — Aax — àby -h a^-h ù*) *, (i — ar* — ^*)*[i — lax — ihy h- a*(i — J^')-i- 'labxy -h 6^(i — j"*)]-i,

et que nous définirons ainsi

{\ — '?.ax — iby -Jr a^-^ h^- )" *— Va'«^"X^ ,;,,,;,

(I — a?* — y^)^[^ — '^«^ — 'i^y -H «'(I —y*) L'équation suivante, que nous établirons bientôt,

i.'2...m-i- /i (— ly/i^ /( /yi -^/f H-i) d'»-*-"(i—.r* — y^) *