m .1.2... n 1 .3.5. . .u(//i -h /i)-l-i dx'" dy

rapproche par la similitude de forme analytique ces fonctions de deux variables des expressions qui donnent le sinus du multiple d'un arc au moyen du cosinus de cet arc. C'est ce que rend manifeste ce beau résultat dû encore à Jacobi, savoir :

sin|(n -4- I ) arc cosxl = — -—z — ^ ;

•^^ ^ ^ i.3.5...i/i -ht dx'*

336 OKIVRES DE CHA1LE8 HEAMITE.

Nous aurons d'ailleurs pour \*>«.« et Oj»,» des propriétés enlîèieinent semblables aux précédentes, et, comme elles s'établissent de la même manière, il suffira d'indiquer rapidement les plus impor tantes.

Voici en premier lieu leurs valeurs dans les cas les plus simples

\*Vi = 3^, v>i,#= y(2it*-i4t«-hi),

Vj,o = - « 5x«— i;, Wi = ^ < 3x»^ — Tjr).

VM=-^^7-^'v-r;,

et en posant, pour abréger.

V)o.o= .= , Ui.i -43. 4;r>'« — x»— j ),

V>,^ = p r 4 ir« -^ ^'' — T ». t)j.i = io s I 2 x* >- -i- xy* — xv ),

V>o.î— p(4^v'— T^ — I), Vt,^= lOZi 'IJ^'-r- X'r — J^K),

V^3.o= 4 ? i. ^-r' — j;>'- — -r I, i:)o,v — p r 16 >-• -:- 1 2 j»^'* -+- X* — I •>. K* — 2Jr--h I),

V)j.i = 4?< ia?\>'-h^K»— V.

Cela posé, les intégrations étant toujours entre les limites déterminées par la condition

on anra

/ / c/j-c/> V>,„,^\Yv = o, f fdxdjrV„,^nV)^i.y-^o;

les degrés m -\- n et [jl + v sont différents, et en outre,

)rsque les indices m et [jl, /i et v ne sont pas égaux à la fois. Dans ; cas contraire, on obtient

F J '' ' \ '2 m -H 'jin -+- 3 / 1 . 2 . . . //i

ie dernier point résulte de la considération d'une intégrale double nalogue à celles qui ont été précédemment désignées par A et B, avoir :

C = r 1 dx dy(i — 9.a' X ^ ^by -^^ a'^-h b'^f^(\ — x^^ y^)^ x[i — lax — 'xbjr •+■ a*(i — y*)-h o.abxy -+- 6*(i — J?*)]"*. 4ous allons en donner la détermination.