VIII

Soit, pour abréger,

^n posant

tt introduisant les quantités suivantes

aa'-^bb' .^ ab' — ba' . ^ — = cosO, -, = sin6,

lous obtiendrons une transformée en Ç et tj, que nous écrirons ainsi

X [( I — r cos 05 — r sin OrJ* — r* ( t' -4- 7)« — I )]-» .

Ce résultat conduit à intégrer en premier lieu par rapport à t|, H. - IL „

>3^ CECTAES DE CHAALBS HEAMITE.

c e^t-ii-dire à l'expression

I </r I — 52 — T.s »« [. I — r co5<>; — r sinOT. ;t ^( tJ t. t,« — i)J' S qu'on jieul décomposer de celte manière

itr J -- --^ / </r.' I — rcosCl;— -rsinÔT, — r/?— r,*— i) "*.

En faisant

'i =vi — î"cos5,

on devra, d*après les limites de t., faire croître l'angle o de zéro

à t:, et, si Ton pose

L = I — rcosf»;.

M = rsinC»|/| — ;*,

\ = r/7^:rr*.

ces intégrales deviendront

2«> ^ L — M C0S9 — I N sin ^ iir ^/^ L — M cos o -h t N sincp

ce qui peut être évidemment réduit à l'intégrale unique

■i ir J L — M cos 9 — « N sin 3>

Introduisant en dernier lieu la variable e'r= ;;, nouî> serons conduit à intégrer, le long d'un cercle ayant son centre à l'origine el son ravon égal à Tunilé, la fraction rationnelle

c I 9. Le — M (;;*-+- u— N , 5*— i)]

dont il n'y a plus dès lors qu'à déterminer les résidus.

A cet eflet, nous supposerons r el /•' moindres que l'unilé, reslriclion permise, puisque l'intégrale doit être développée suivant les puissanees ascendantes des quantités a, 6, a', b' , Sous cette condition, l'équation

iLe — >!(;;« -h i;—x\(;;«—i)= o

admet une racine inférieure à l'unité, car le premier membre prend pour ^ = i la valeur positive

2L — «xM = 2(1— /cosB^ — rsinO/i — $«),

et pour z = — I la valeur négative

— iL — iM = — a(i — r cosOJ -4- rsin6/i — $*).

Or, le résidu de la fraction proposée, relatif à cette racine, a pour expression

j /a » — /"cosOJ \

/•cos*0/i — $* \ /i — -2 r ces 65 -h r' cos*^/

en l'ajoutant au résidu relatif à la racine >? = o, savoir :

r(i~sine)/i — {« on trouve l'intégrale de la fraction rationnelle r {^-^z^)dz

liiz / I — rcosôÇ \

r cos'6/i — $* \ /i — ir cosOJ h- r' cos*0/

et par conséquent

2*r «A-TT '-• — ^^ coscp — i'N sincp

= -JL(.^ »-rcosQ{ \

'''c<^s«e\^ y/, -2rcoseÇ-4-/->cos2 0/

Ce qui réduit Tinlégrale double proposée à

^^ -T. r^' d\ / i-rcose; \

Maintenant le calcul s'achève par les procédés élémentaires, et l'on obtient

/ I 1 . I -+- v/zt' cos 6 \

34o OBuvaEs de Charles hbimitb.

de sorte qu'il vient en définitive, en remplaçant rr'cosO par sa valeur,

ad -H hb

\\''aa-bh i^aa'-^bb' i^^aa'^bb'J

et Ton en conclut immédiatement la proposition énoncée sur Tintégrale

f j dx dyO„,^n Dji^v,

prise entre les limites déterminées par la condition x'-f-j^^^i.

Nous allons considérer maintenant le développement suivant 1^^ puissances ascendantes de a et 6 de la fonction

2ci6tk -+- ^"(i — x«)]-» = ^1 a'"^'» Om.H,

afin d'établir l'expression déjà donnée du polvnome X^m^n- Soit à cet effet

i»u \oil aisément que l'on pourra écrire

VI r* — ^»*>*[i — irt-r — ibv -^ à^K\ — y^\^- labry -^ b^w — t-\\ •

\lc sorte que IVnsemble homogène des termes de degré k dan> c- \lo\eloppeuient sera

c^ XAMvi comment on par\ient à leur expression.

SÉEIB DE FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES. 34t

Revenons à la formule