dx 1.2.3 dx

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En diffërentiant par rapport à ^, on en conclura

— ^^ — - -\- ^^^(x ^az)

a cLx

dY{x)^{x) a (i^F2(^)^(^)

~ dx 1.2 dx''- ' "'

et en simplifiant

a dY{x)^{x) a^ d^F^{x)^(x) ^

~ ■ ' i dx 1.2 dx'^

Mais, l'équation en z étant maintenant

z — ¥ (x -h az)=^ o,

on en tire

dx I — a¥\x -\- az)

de sorte qu'en posant

§{z)— z — F(^ H- az)^

il viendra en dernier lieu

^(^x-\-az) a dY(yx)^{x) a^ d'^Y'^{x)^(^x)

§' (z\ ^ ^ I j dx 1.2 dx"^

Sous cette forme nouvelle, on peut appliquer à la série de Lagrange le procédé qu'on emploie dans les éléments pour étendre aux fonctions de plusieurs variables la série de Taylor

Ainsi on fera d'abord ^ = o, a = i, se servant de ce cas particulier pour y introduire, au lieu de F(^) et ^(^), les fonctions

Y (^x -^ az^ y ^hz), ^(x ■+- az, y -{- b z),

et l'on parviendra à ce développement où l'on a mis, pour abréger, F et O dans le second membre au lieu de F(.r,j^), <ï>(^,j'),

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savoir :

dx 1.2 dx"

, dV^ , d'-Y'^^

H- h —. — -\~ ah —, r-

dy dx dy

OU bien

. 2 , . . 7?2 . 1 . 2 . . . 7i dx"^ dy^^

l'équation en z étant

;f(^) = ^ — F{x-^az,y-^bz)=^o.

Cette conséquence de la formule de Lagrange donne le théorème que nous avions en vue d'établir; supposant en effet

Y(x, y)= x^-{- y^- — i, <i>{x, y)= i, et remplaçant a el b par — ? -? l'équation devient

On en tire

^'(^z) = [i— 2ax — 2by-[- a^(i~-y^)-i- 'labxy -^ b'^ii — x^-)Y, et, par suite,

[ I — 2 a 37 — 2 by -\- a^ (i ~ y^ ) -{- 2 ab xy -+- b^(j — x^)] ^ arni^n d^'^^" ( x^- -h y^ — iy?i-h7i

' jZd I.':

, . m . 1 . 2 . . . n . 2^"-^''- dx''^ dy>^

Voici ce qui résulte de cette expression pour les polynômes \ijn,n^

En premier lieu, on a comme pour N m,n la relation / dxdyl]fn,nlJ^,^'=o,

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avec la condition

quand m -\- n n'est pas égal à p. + v. Nous le déduirons de la formule suivante

qui donne

dx^^~^ dx dx'^-'^ dx^ dx^^~^

^ ' dx'^-^ ^ ,/ ^ ^ dxf^ '

en supposant que a et b annulent <ï>(^) et ses n — i premières dérivées. Considérons, en efïet, l'intégrale double

avec la condition

et commençons par rapport à la variable y l'intégration qui devra être faite entre les limites —\J\ — x'^^ H-y/i — ^~' ^^^ ^\ivdi

J dyYix^y) ^-

d'^Yix, y) d'^^ ( ^2 ^ j2 I yn-^rn

-(-0'^ / dy

de sorte qu'on peut écrire

= (— 0" / / dxdy-, — -, ^ f

J J -^ dx dy dxf'^

Opérant en second lieu sur la variable x^ comme on l'a fait sur j^, on aura

J J d.dyF(^,r) '-â^.

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33o OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

et la proposition annoncée s'ensuit en prenant

et supposant p. + v <C m + /?, ce qui annule évidehiment le second membre. Il en résulte, comme on le montre aisément, que le polynôme XJm^n est une fonction linéaire des divers polynômes Y 01^11^0-) 'Vm+n-i.i', . . ., Vo,77e+7z, de degré ?n + n.

Considérons en second lieu le terme général du développement de la fonction quelconque F(^, y) sous la forme

F(a7, y) = ^A-o!,?iym,n,

savoir :