TT /7Z -H 1 . 771 -H
— Ajn,n= I / dx dfF(x,y)\J;n,n'
El[l appliquant la même formule au second membre, on en déduira
T .-i. . .772 + 7l.1^>'-^''A,„^ji
\m-hn
ce qui introduit soas les signes d'intégration les puissances d'un facteur moindre que l'unité, et qui sont d'autant plus petites que les indices m et Ji sont plus grands. Comme on trouve aisément d'ailleurs
/ / dx dy(i
. ^2 y2 \ni-\-ii 3^
on aura, si l'on appelle ^m,n le maximum de l'expression — ,^^^ ^ \f ^ sous la condition x--^ y^Si^ cette limite supérieure fort simple de Kni^n-) savoir
En supposant donc que '-^^^ ne dépasse jamais une
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SÉRIE DE FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES. 33l
certaine constante A", les termes du développement considéré 2^^m,?2y?n,n ne dépasseront pas non plus ceux de la série suivante
représentant la fonction
/c ( I — 'lax — by -\- a^-^ b- )~^,
dans l'hypothèse
a = - et 0 = - '
Mais d'autres propriétés du polynôme \Jm,n vont encore nous montrer, et indépendamment de la transformation précédente, que la valeur de A^^f^ diminue quand les indices augmentent.
On sait que la fonction X/^ de Legendre reste, quel que soit 72, numériquement moindre que l'unité lorscju'on fait variera de — i à H- i , et que l'équation X,^ = o admet entre ces mêmes limites n racines réelles et inégales. Par conséquent, dans l'intégrale
/ F(x)Xadx^
Y[x) se trouve multiplié par un facteur qui change n + i fois de signe entre les limites et sans dépasser l'unité. Or, aux infiniment petits près du second ordre, une fonction prend des valeurs égales et de signes contraires avant et après son passage par zéro, la fonction F(.'r) variant alors infiniment peu, on voit que le facteur X/^ a pour effet d'amener dans le voisinage de ses racines des éléments de l'intégrale infiniment peu différents et de signes contraires, d'où résulte que l'intégrale diminue de valeur quand le nombre de ces racines augmente. Des considérations semblables s'appliquent à l'intégrale double
SI
dx dyF(x, y)Vn,,n,
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dont les limites sont déterminées par la condition
et reposent sur les propriétés suivantes du polynôme Uni^/i'
Supposons que les variables x el y représentent des coordonnées rectangulaires, la courbe donnée par l'équation 11?^^^,^:= o, abstraction faite du facteur x ou y^ suivant les cas, sera toute comprise dans l'intérieur du cercle ^--f-y^— -j. jg plus, elle sera rencontrée en m points par une parallèle à l'axe des abscisses, et en n points par une parallèle à l'axe des ordonnées. Ce sont les changements de signe du facteur U/^^^/^, résultant de ces intersections, qui amèneront dans les intégrations relatives k x ou k y les mêmes conséquences et la même conclusion que précédemment (^ ).
Le premier point résulte d'une forme de développement de l'expression
[i — lacc — 2by-^a^{i — jr^)+ labxy-^ b^-(i — sc^)] ^,
qui s'obtient de la manière suivante. Soit pour un instant
i — ace — by ' elle pourra s'écrire ainsi
ce qui donnera la série
u + i(a^-}- b'- ) (x^ -h y^ — i) u^ -i- — (a^^- b'-y{a;^-hy^ — iyu^-
•2./\.D. , .in '
Faisant encore
ax + by = s,
(^) Je dois faire remarquer toutefois une différence en ce qui concerne le maximum de U„, „ égal à l'unité lorsque l'un des indices est supposé nul, et dont l'expression générale est
ji\m -h n
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de manière à avoir
et, par suite,
du I d- u 1.2 d'^ u i .1. . .71
dz {\—zy- dz^- (i — -2)' dz'^ (i — ^)''+i
ou bien
du , d'^u ^ d'^ u „^,
dz dz- dz'^
en remplaçant les puissances de u par les dérivées, cette série deviendra
.3.4 az^ '2.4
Cela posé, nous en déduirons l'ensemble homogène des termes de degré k en a et b^ en développant, suivant les puissances de s, la quantité
ainsi que ses dérivées
du v^ , d'^u \i . X „ o
Par là on obtiendra cette expression dont la loi est manifeste :
De sorte qu'en mettant au lieu de z sa valeur a^+ by^ on sera conduit à la relation suivante
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m ss 1
a ss I
Elle met immédiatement ce fait en évidence, que pour des valeurs positives des coordonnées, rendant positive la fonction
.x--\-y^ — I, toutes les quantités U/f^o? U/f^^^, ..., Ui,^i, Uo,/r seront également positives. OrU;,/,^,^, suivant ces quatre cas, savoir:
(modsi), ^ ^ o n^^ \ /i ss I )
ayant pour expression
^{x'^.y^), :rF(^^r2), yY{x\y^^), xyV{x\f^),
ne pourra par conséquent jamais s'annuler, quel que soit le signe •des coordonnées, abstraction faite du facteur x on y^ qu'en supposant x^ -{- y^ — I << o, ce qui démontre notre proposition.
Pour en donner un exemple, considérons la courbe Uw^o= ^\ on vérifiera aisément qu'elle est composée, suivant que m est pair
1 m /?! — I IV ^ , ' ^2 , .,
ou impair, de — ou — ; — ellipses ayant pour équations — -|- j/- rr= i ^
où p est une des racines du polynôme X;,^ de Legendre. Ces racines étant moindres que l'unité, les diverses ellipses sont bien effectivement comprises dans le cercle
Démontrons en dernier lieu qu'une parallèle à l'axe des y^ par exemple, rencontre en a points la courbe U/,2^;i= o, et remarquons à cet effet qu'on peut poser
d'^'\x^^ y""- - \yn.^>^
dx"'-
en désignant par Z une fonction entière en x et y. Il en résultera
d'Hx'''-^- y''~—i)'>T.
,a.'2'>^^'^ dy'^
et sous cette forme le théorème de Rolle suffit pour montrer que, par rapport àj)/, l'équation U7;z,/^= o admet n racines réelles comprises entre les limites — y/i — x-^ +\/i^ — ■ x- . Notre courbe est donc effectivement rencontrée en n points par l'une quelconque des ordonnées du cercle ^-+ )--= i.
La même démonstration s'appliquera d'ailleurs à une parallèle à l'axe des x.
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Nous avons cherché à montrer, dans ce qui précède, l'analogie des polynômes à deux variables \Jm,n avec les fonctions de Legendre, et sous ce point de vue le fait le plus caractéristique s'est trouvé dans la relation
si semblable à l'expression donnée par Jacobi,
