i.'i'^ dx
Maintenant nous devons considérer les fonctions ayant pour origine le développement des quantités
(i — 2ax — 2h y -\- a^- -^ b"^-) ^^ (i — x^ — y^)^[[ -~ 2ax — '2by -h a^-(i — y-) -i~ -i ab xy -h b- {i — ^-)]~S
et que nous définirons ainsi
(i — Q.ax — Q.by -H a^-f- b'^f ^ =^^^"'b"^m,?:.,
([ — x'^ — ^^)^[i — 'lax — Q.by -h a'^(i — y'^)
-f- '2abxy -h 62(i ^2)]-i "Va'^'ô^D
L'équation suivante, que nous établirons bientôt,
ï .2. . .m-^ 71 ( — J ) "''^■' ( fn -+- n + i ) d"^^'^ ( i — x^ — y^ )
1.2. . .;?z .1.2. . ./i 1 . 3.5. . .2(/Ai -f- /^)^-l dx»^ dy'^
rapproche par la similitude de forme analytique ces fonctions de deux variables des expressions qui donnent le sinus du multiple d'un arc au moyen du cosinus de cet arc. C'est ce que rend manifeste ce beau résultat dû encore à Jacobi, savoir :
sm r( 71 -4- I ) arc cos ^ = — — ;
■-^ ^ -■ 1.3.5. . .2/1 -M dx^'
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Nous aurons d'ailleurs pour Vjn^n et XDm,?? des propriétés entièrement semblables aux précédentes, et, comme elles s'établissent de la même manière, il suffira d'indiquer rapidement les plus importantes.
Voici en premier lieu leurs valeurs dans les cas les plus simples
Vo,o =
3cc,
Vo,2 =
et en posant, pour abréger,
t)i,i=: 6pa;j, 't)2,2= 2p(6^^+'27^2j^2^6^'*— 7rr2— 7j/2^i-|^
t)3,o=4p(2^^-f-.^J^— ^), tDo,4= p(l67^-|-I2^2j2|^4 i2j2 2a72H i)^
Gela posé, les intégrations étant toujours entre les limites déterminées par la condition
on aura
f f dxdy'Ç,n,n'Qy^^y = o, f j dxdyXDrn,n"0
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SÉRIE DE FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES. SSj
si Jes degrés m -j- n et ul + v sont difFérents, et en outre^
/ / dxdy'Çtn,ii'0^,^y=o,
lorsque les indices m et ja, n et v ne sont pas égaux à la fois. Dans le cas contraire, on obtient
Ce dernier point résulte de la considération d'une intégrale double analogue à celles qui ont été précédemment désignées par A et B, savoir :
C= I j dxdy{i — '?.a'cc — 2by-+-a'^-i- b'^f^{i~a^'- — y'-j^ X [i — 2ax — '^-'ày -h a^{i — y^)-^ '2abxy -\- b^{i — x^)]-^. Nous allons en donner la détermination.
Soit, pour abréger,
En posant
et introduisant les quantités suivantes
aa' -^ bb' . ab' — ba' . ^
=z cosG, — sin6,
nous obtiendrons une transformée en \ et yj, que nous écrirons ainsi
X [(i — r cos 0^ — r sin Or^ )2 — ^2 (^ ^2 | ^^2 i)]-i ^
Ce résidtat conduit à intégrer en premier lieu par rapport à ti, H. - II.
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c'est-à-dire à l'expression
^^(i^2__^^2)2|-(j__,,cos6^ — rsinÔY])-^— rH^^M-"^' — i)]"S
qu'on peut décomposer de cette manière
H 7^ / dri(i — rcosG^ — 7' sin6'r] + 7^^^+ '0^ — 0'"^-
1 ir J
En faisant
7] == /l — |2 cOSCp,
on devra, d'après les limites de t], faire croître l'angle cp de zéro
à Tï, et, si l'on pose
L = 1 — r cosG^,
M = /'sinGv/i — ^^
ces intégrales deviendront
v/[ — ^2 r'^ sincp^cp y/i — ^'^ Ç'^ sincp ^/cp
2 f> J L — Mcoscp — iN sincp -^ir J^ L — M coscp -h t'N sincp '
ce qui peut être évidemment réduit à l'intégrale unique
v/i — ^2 ^^'^ sincp^cp
- M C0SC5 — t'N sincû
Introduisant en dernier lieu la variable e^? = ^, nous serons conduit à intégrer, le long d'un cercle ayant son centre à l'origine et son rayon égal à l'unité, la fraction rationnelle
i Lzif! ,
dont il n'y a plus dès lors qu'à déterminer les résidus.
A cet effet, nous supposerons r et r' moindres que l'unité, restriction permise, puisque l'intégrale doit être développée suivant les puissances ascendantes des quantités a, 6, a' ^ b' , Sous cette condition, l'équation
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admet une racine inférieure à l'unité, car le premier membre prend pour ^ = i la valeur positive
et pour z =z — I la valeur négative
— iL— iM = — 2 (1 — r cos e^ -H r sin e / i — ^"O-
Or, le résidu de la fraction proposée, relatif à cette racine, a pour expression
1 / • û * — ^ cosG^
r cos2 0v/i — ^2 y y/i -2 r ces 6^ H- r2 cos^e/
en l'ajoutant au résidu relatif à la racine z = o^ savoir :
r(i — sin6)v/i — ^2 on trouve l'intégrale de la fraction rationnelle
J Z[2hz —
liiï [ I — r cos6^
r cos^G/i — ^^ \ s/ \ — '2r cos6^ -h r^ cos^ô et par conséquent
/l — ^2 /^ + ^ sincp^cp
L — Mcoscp — i'Nsincp I — r cosÔ^
ce qui réduit l'intégrale double proposée à
d\ ( \~ r cosO^
r2cos2ÔJ
(i 2r'^ H- r'2)2 \ \/i— 27- ces 6^ -j- 7^2 cos2(
Maintenant le calcul s'achève par les procédés élémentaires, et l'on obtient
2\/7'7' COS(J I — y7V' cos6
7V^ COSt) V I 7V' COSt
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34o OEUVRES Ï)E CHARLES HERMITE.
de sorte qu'il vient en définitive, en remplaçant /Vcosâ par sa valeur,
^ — 7T / I I , v-\-\/aa' ^r- bb'
aa! -^bb' \\ — aa' — bb' .^ ^aa' -+- bb' i — s/aa' -^ bb'
et l'on en conclut immédiatement la proposition énoncée sur l'intégrale
prise entre les limites déterminées par la condition ^2|y2< j^
Nous allons considérer maintenant le développement suivant les puissances ascendantes de a et è de la fonction
(i — cc^ — y^)^[i — lax — iby -{- a^(i—y^)
^abxy -^ 6î2(i;^2)]-i 2.(^'^^^^^m,n,
afin d'établir l'expression déjà donnée du polynôme "Ojn.^n, Soit à cet effet
on voit aisément que l'on pourra écrire
(i — a72-.-j/2)2 [-| 2arr — 2 6j/ + a2(i — y'i-)-\- rtab xy ^ b'^ {\ — x^-)\~^
de sorte que l'ensemble homogène des termes de degré k dans ce développement sera
pA.'4-l Q/c+l
'iis/a^--\- b-^
et voici comment on parvient à leur expression.
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Revenons à la formule
^' (z) ~ ^ 1 . 2 ... m . 1 . 2 ... 71 dcc^^ dy^^
où z est une racine de l'équation
§(^z)~ z — ¥{x -^ az^ y -h bz)= o,
en y changeant, comme plus haut, a et 6 en -? -• Si l'on prend
F(j,,y)=:x^-^y^-j, ^(a;,y) = (x^-hy'--iy, on retrouvera d'abord la même équation en z, savoir :
en faisant, pour abréger,
H =1 — ax — 6 j
K = a72-Hj2 — I.
Nous en tirerons
