h 72 ) + [ dx"^ dy
On en tire, pour le coefficient de a^b^ dans le développement de la fonction proposée, l'expression du polynôme ^m,n qu'il s'agissait de démontrer, savoir :
( 777^ | /i 4- I ) (- lyn+n d^n^^^ ( , __ ^2 y 2 ) 2
En partant maintenant de cette expression et considérant le développement d'une fonction quelconque sous la forme
on obtiendra évidemment à l'égard de l'intégrale
r f da:dyF(x, y)X)nt,n,
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prise entre les limites
ainsi que sur les propriétés de la courbe t)„ï^;i= o, les mêmes conséquences que précédemment; je ne m'y arrêterai pas, pour abréger, et je terminerai par une dernière remarque sur les polynômes Vm^n et Ym^n-
Les dérivées des divers ordres de rexponentielle e~^^^'y->^' "'\ dans laquelle (:>(^, y, ^, . . .) désigne une forme quadratique, conduisent, comme on l'a vu, à un mode de développement d'une fonction quelconque, où les variables peuvent recevoir toutes les valeurs de — oo à +00. Or, un pareil mode de développement peut être obtenu comme conséquence de ces formules
F(^, y)= y A,;,,,,V,.,,,- YB,;,,,,U,,,,;„
et de celles où l'on emploie ^m,n et 'Om.n-) et en supposant x et y limités par la condition
Considérons en effet la substitution
on en déduit
d'où résulte que les nouvelles variables pourront s'étendre de — ■ co à 4- 00, et l'on est amené par là à rechercher ce que deviennent en fonction de ^ et 7] les polynômes Um,« et Ym^n- Si l'on fait
on voit tout d'abord que les quantités R^^/z, Sm^n sont rationnelles,
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entières et du degré m -\- n en ^ et T; ; ainsi on aura
Ri,i=2^^, R4,o- g(8?^-24?2+3),
Ro,2= -(271^—1), ,
Sj,0= 2^, S2,l= 4(5^2yj Y|3— -r]),
So,l=: 27), Si, 2= 4(5-^2^ — Ç3^),
S,,o-3^2^2 i^ So,3=4(r,^-^V--'^;),
Si,t=: 8^^, 84,0== 5^^— I0^2^r]2-t-r]^— 10^2+ 2ï]2h-i,
So,2= 3 7)2— ^2 i^
Mais, pour en reconnaître la nature, revenons aux équations de définition
f I — 2 « 57 — 2 6jK + ^2 ( [ j2 ) ^ 2 ^^ ^j^ ^ ^2 ( I ^2 )]" 2 . V ^m ^/i U^^^^^^^
(i— lax ~ 'ihy Ara'^-^ è2)-i = "V ^m^/iV;;^,„. En posant dans la première
a = av/l+^2+^2^ è^ [3y/l V.^2|-^2^
elle prendra cette forme
[i 2a,^P.[3r)+a2(^2^i)u2ap^-ri4-p(r,2+i)]-2:^2a/^.p/.R^^^^^.
par conséquent, R/w^/^, comme on le reconnaît aisément, ne contient que le seul terme \^^r^^ du degré m -{- n] c'est la propriété caractéristique de Ym,n qui a été transportée ainsi par le changement de variables au polynôme Um^n-
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Faisons dans la seconde équation
elle deviendra
et l'on en conclut cette expression qui nous rapproche de la forme analytique de Um,??^ savoir :
Sm,^-( I) • i,2...m.ï.i...n dV>^dr^'^
En posant
on obtiendra semblablement
?Ji-\-n-^ - — -
A. l'aide de cette forme, en raisonnant comme je l'ai fait précédemment, on établit que les équations
admettent toujours m racines réelles considérées par rapport à ^
et n racines réelles par rapport à y^ . Sous la condition ^ >> cot — ■ — ?
l'équation Sm,n^= o a même toutes ses racines réelles par rapport à r\ (^). Mais je ne m'arrêterai pas à l'étude des polynômes R^,,^, ^m n-) ayant voulu seulement indiquer encore un exemple du genre d'expression donné par Jacobi aux fonctions de Legendre. C'est en 1826, dans le second volume du Journal de Crelle, que ce grand géomètre a établi la relation
'^ ~ I . '2 . . . /i . '2'^ dx^^
(') Cette affirmation ne paraît pas exacte, comme le montre le cas particulier de ra ^ 1, n=-\. E. P.
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Mais bien avant, et dès 1 8 1 5, un homme du mérite le plas distingué et dont la mémoire est restée chère à ses nombreux amis, M. Olinde Rodrigues, y était parvenu dans une thèse, Sur Vattractioii des sphéroïdes^ présentée à la Facalté des Sciences de Paris. Cette thèse contient encore la relation remarquable
j .1. . . m — ^t dx"^—P 1.2... m -\- p dx^^^^P
donnée également par Jacobi dans le même Mémoire, et qui joue un rôle important dans la théorie des fonctions Y;^. A l'égard des polynômes \^m,n la propriété analogue n'a pas une forme aussi simple. On l'obtiendrait en partant de l'équation suivante, facile à démontrer,
\ .'1 . . .11 — p .1 .1 . . . la — q dx'^-P dy"^-^l
( xy — \)P+'I ^/;i+/?.+/;+<7 {xy — \) '"+"
ï .'1. . .m -r- p .\ .1. . .11 -^- q dx'>^-^Q dy'^^^l
et remplaçant les quantités x el y par x -\- y \l — i , x ~-~j/y/— i ; mais ce changement de variables donnerait un résultat un peu compliqué, et je ne m'y arrêterai pas.
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SUR
Comptes rendus de V Académie des Sciences, t. LXI, i865 (II), p. 877, 965 et 1078; t. LXII, t866 (I), p. 65, 167, 245, 716, 919, 969, io54, 1161 et i2t3.
La théorie des fonctions elliptiques conduit à deux méthodes pour la résolution de l'équation du cinquième degré. La première a pour fondement la possibilité de ramener l'équation proposée à la réduite
X^ — X — -r^rr =- = O
v/5^ k'^Jk
de l'équation modulaire relative à la transformation du cinquième ordre. Dans la seconde, qui est due à M. Kronecker ('), on prend pour point de départ certaines fonctions cycliques des racines dont les carrés ont seulement six valeurs, et que l'on représente par les
quantités
cos am 2 (jû cos am 4 w
cosam4w cosam^w
w étant successivement -^? -—-7 y De ces tonctions
on déduit ensuite rationnellement les racines elles-mêmes, qui s'obtiennent ainsi sous forme explicite à l'aide des mêmes quantités. Ces deux méthodes ont été pour moi le sujet d'une longue
{^) Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. XLVI, année i858, et Journal de Crelle, t. 59, année 1861.
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étude, dont j'ai en ce moment l'honneur d'offrir à l'Académie les résultats. Je m'occuperai d'abord de la réduction à la forme trinôme x^ — ■ X — a =: o de l'équation générale du cinquième degré, et, à cette occasion, de la recherche des conditions de réalité des racines sur laquelle M. S^dvester a publié récemment un de ses plus beaux Mémoires ('). J'essayerai ensuite d'approfondir la méthode de M. Kronecker et de la rapprocher de la précédente, en prenant pour base le travail remarquable et plein d'invention dans lequel M. Brioschi en a exposé les principes (-). Cette méthode permet, en effet, de ramener l'équation générale clu cinquième degré à celle-ci
, ,- ri-2/c2)(n-32Â:2A:'2)
^^ — lo^'^-f- 4^^ — 4 -^-r, ^ ^t
kk
qui est la réduite de l'équation
