I /cosamsw cosam4w

dont les racines sont les quantités ;

' 2\cosain4tja cosamatOy

Mon but principal sera d'effectuer complètement le calcul de la substitution qui donne ce résultat si important, et, comme les éléments algébriques invariants et covariants des formes du cinquième degré servent de base à ce calcul, ainsi qu'à la réduction à la forme trinôme, je rappellerai d'abord à cet égard les notions dont j'aurai à faire usage.

Soit

f{x, y) = a;r^ -f- 5 ^x^y -\- lo^x^y'^

-MOY':r2jK3-l-5p';27jK4+a'7S=:(a, fi, y, y'^ (^', «') (.r, j)^

(^) On the real and imaginary roots of algebraical équations : a trilogy {Philosophical Transactions. Part TU, i864).

(^) Sul methodo di Kronecker per la risoluzione délia equazione di quinto grado (Atti delV Instituto Lombardo, l. I, i858, p. 27^).

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la forme proposée et

y — nX -\- n'Y

une substitution S au déterminant un^ propre à réduire le covariant quadratique

au monôme y/A.XY, où je pose, pour abréger,

A=:(aa'-3j3p'-i-2YT')'-4(al3'-4PY'+3Y2)(a'p — 4[3'y+3y'2).

Cette substitution n'est pas ainsi entièrement déterminée ; mais on sait qu'on en aura l'expression générale en la faisant suivre de toutes celles qui reproduisent y/A.XY. Celles-ci comprennent d'abord la substitution propre

X = wX',

et la substitution impropre

X = wY',

mais cette dernière doit être rejetée, si l'on veut conserver le déterminant de la substitution S égal à + i . Cela posé, soit pour un instant

fi^mlL-hm'Y, nX-\-n'Y)=^ F(X, Y)==(a, /;, c, c', b\a'){X, Y)\ de sorte que l'on ait

J'achèverai de définir entièrement la substitution en déterminant to par la condition cw =: c^co~^ ; cela fait, je prendrai

F(ojX, -Y) pour transformée ca/io/iz:'^^^^ de la forme générale du

cinquième degré, et en posant, pour abréger,

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je la désignerai par 5^(X, Y), de sorte que l'on aura

.T^(X, Y) = (X, ja, v/7., v/7c, II', XO(X, Y)^

Il est aisé de voir qu'on obtiendra la même forme canonique pour toutes les transformées déduites de la proposée /(^, y) par une substitution quelconque S au déterminant un; car il suffira d'effectuer dans cette forme la substitution inverse S~^ qui ramènera à la proposée, et puis de la faire suivre de S, pour retrouver S^(X, Y), le déterminant de la substitution composée S"^ S étant d'ailleurs égal à l'unité. Il suit de là que les coefficients de la forme canonique sont des invariants de la forme proposée, et il importe d'étudier avec soin ces coefficients.

Je dis, en premier lieu, cju'ils peuvent s'exprimer en fonction des trois quantités W^=gj \j,^'zz=h et k. Effectivement le covariant quadratique de #(X, Y) étant devenu \/A. KY, on a les deux relations

\ix' — 4 P- v^ -i~ 3k = o,

X' [JL — 4 l-'-' \/k -+- 3 /c = o, d'où l'on tire ces deux équations du second degré

En les résolvant et posant, pour abréger,

A =(gk'--h i6hk — shy—2ehk-', on aura un premier système de solutions, savoir

72v''>^X = /i(^ — i6/f)2— 9/c2(^i-i6/:)-h(^ — i6A:)/Â, M \/F [J. =:: 9 /c2 4- 1 6 hk — gh — /Â,

et le second s'en déduira en changeant à la fois le signe de ^A dans ces deux formules. Mais, d'après le produit des racines des équa-

Y? —7 c'est-à-dire par V et jji^, de sorte que l'on aura

ÉQUATION DU CINQUIÈME DEGRÉ. 35l

tions en X et p., ce second système pourra aussi se représenter par

72v/^V = A(^ — lô/c)-^— 9/f2(^H-i6yt) — (^ — 16/O/Â, •24 /^[J,' = 9/c2 -h 16M — gh 4- v/Â.

Voici donc, comme on l'a annoncé, les coefficients de la forme canonique

exprimés en g^ h^ A", et l'on va voir que ces quantités s'expriment elles-mêmes par les invariants de la forme proposée.

Je rappellerai d'abord cette proposition : que, 0(^,j/) etcp^ {00^ y) désignant deux covariants d'une forme/, si Ton pose

d'où

(p(— 7, x)=^ a^x"^— ^v-i^^-^jr-i-. . .4-(— i)^-^ai^jK^-i-l-(— I)vaoy^

l'expression

sera encore un co variant de /, et je dirai suivant l'usage qu'il a été obtenu en opérant avec o{x^y) sur cpi {x^ y). Gela résulte de ce qu'en faisant

cp(/?^X^-/?^'Y, nX-^n'Y)

:=: A0XV4- Al Xv-1 Y +. . . + Av-1 XYv-1 + AvYv = $ (X, Y)

cpi(7nX4-m'Y, ^X + /i'Y)= <i>i(X, Y),

l'expression semblable obtenue en opérant avec ^(X, Y) sur

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^\ (X, Y), savoir :

^^^^DÎV - ^'^-^ ^Xv-i dY ^' • • + (- ^)' '^^ ^X^Yv-i ^(- ')^« ^Y^^

OÙ l'exposant Vj du déterminant de la substitution est le degré de cp,(^, jk)- Je ferai usage de cette proposition en prenant pour <ï>^ (X, Y) et ^(X, Y) la transformée canonique de la forme du cinquième degré et son covariant quadratique, de sorte que l'on ait

<ï>(X, Y) == /ÂXY, *, (X, Y) = cT (X, Y).

On obtiendra ainsi, sous sa forme canonique, un premier covariant du troisième degré ( ^ )

et, en opérant avec le carré de ^(X, Y), ce covariant linéaire

Enfin on sait que le déterminant

^^ '^^ dx dy dx dy est aussi un covariant, car on a

Faisant donc

$(X, Y) = v/ÂXY,

et prenant successivement pour ^i les deux covariants auxquels on vient de parvenir, savoir :

(I) \/A(ja,v/7c,/:f, ja')(X,Y)3,

(^) Il faudi^ait mettre le signe — devant le second membre. E. P.

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on obtiendra les suivants (^)

(III) A(3^,v/^, /^, -3ja')(X,Y)3,

av) Av/Â(v/Âx— v/^y),

qui sont encore du troisième et du premier degré en X et Y. Maintenant on voit qu'en opérant avec (I) sur (III), on est conduit à un invariant du huitième degré (-), y/A^ ([jl[j/ — k) : je le désignerai par B. En opérant avec (II) sur (IV), on trouve un invariant du douzième degré (^), ^A^A", que je représenterai par C. On a d'ailleurs

XX' — 3 [jl[jl'+ 2Â: = y/A ;

de sorte qu'ayant posé

XX' = ^, [i.ijt.'= A,

on peut déterminer g^ h et/r au moyen de l'invariant du quatrième degré A, et de ceux du huitième et du douzième degré, que l'on vient de définir, par ces relations

^ — 3 A H- 2 A- == / A , h — k =z ——^ , k = - ll ;

d'où l'on tire

A3-1-3AB-I-G , AB-hC

Enfin j'observerai qu'en opérant sur (I) avec le cube du covariant linéaire (H), on obtient un invariant du dix-huitième degré, ayant pour forme canonique y/A^ y//c^([x — [x^). Je le désignerai par K, en posant (^)

et, d'après les valeurs précédemment données de u. et ^J en fonc-

(1) Les expressions (III) et (IV) devraient être précédées du signe — .

(^) Un coefficient numérique 36 serait à rétablir devant Texpression qui suit.

(3) Un coefficient numérique 2 serait à rétablir devant Texpression \/A^k.

( '^ ) Le coefficient numérique 12 serait à remplacer par 6 devant l'expression de l'invariant K. E. P.

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354 OE U V R E s DE C H A:R L ES H E R M I T E .

tion de g^ h^ /c, on voit que

et, par conséquent,

Or il vient, en remplaçant ^', /z, k par les valeurs ci-dessus,

K2 = (A2-i-3B)2AB2+2(A2-+-3B)(A2— i2B)BG-h(A2 — 72B)AG2-48G3;

de sorte que K^ est une fonction entière des invariants A, B, C. Une dernière et importante proposition nous reste à établir pour terminer ce sujet, c'est que tout invariant, quel qu'il soit, peut être exprimé en fonction entière de A, B, G et K.

En désignant un invariant quelconque, fonction entière des coefficients de la forme du cinquième degré :/=(a, [3,y,Y^, ^\aJ)[x^yY^ par

je remarque d'abord que, la transformée canonique

ayant été déduite de f par une substitution au déterminant iin^ on a également

1 = 0(à, jji, s/îï, sjk, )j!, X'),

et l'on en conclut, d'après les expressions des coefficients )^, [i., ..., données précédemment,

P-f-Qv/Â

en désignant par P et Q des fonctions entières en »-, h^ k. Mais distinguons entre les invariants directs et les invariants gauches, et pour cela considérons la transformée déduite de la forme canonique par la substitution impropre

X = Yi,

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savoir :

On remarque qu'elle ne diffère de 5^ que par le signe de \/A, de sorte que l'expression du même invariant I relative à ^'^ sera

P-Qy/Â

Nous aurons donc, selon qu'il s'agira d'un invariant direct ou d'un invariant gauche,

P + Qy/Â P-Qy/Â

OU bien

P-I-Qy/Â __ P — Qy/Â

Ainsi, dans le premier cas, Q = o et, dans le second, ?= o. J'ajoute que le dénominateur /r" disparaît dans l'une et l'autre de ces expressions, qui prendront dès lors les formes plus simples P €t Q\/A. On va voir, en effet, que, d'après la nature même de la fonction 0, aucune de ces quantités ne peut devenir infinie pour /{• = o; car, quel que soit co, on peut poser

€t, en prenant oj=y/A", nous allons reconnaître que dans ce cas le second membre est nécessairement fini. C'est ce qui résulte immédiatement des expressions

72y/FX = /î(^ — 16/02— 9A-2(^-i-i6;^)+(^ — i6/c)\/Â, 24v/Â3[JL= g/c^+iôM — ^-A— y/Â,

qui donnent; en supposant A" = o,

7'2y/A5A = igh, 24v/A^{J^ — — ^ gh.

Ces deux quantités étant limitées, on voit qu'il en est de même de

g h y (o~^ = ■—— et u'(jL)-3— •

on serait d'ailleurs parvenu à la même conclusion, si l'on eût pris un autre signe pour le radical y/A dans les expressions générales

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de X et [;., car on aurait opéré de même en supposant co = -— ^ et

y k considérant V et jx' au lieu de \ et p..

Ce qui vient d'être établi fournit une première donnée sur

l'expression d'un invariant quelconque des formes du cinquième

degré, au moyen de ceux qui ont été définis précédemment et

nommés A, B, G, K. Ayant en effet

A3 + 3 AB -f- G AB H- G / ^ /" ÎL

on voit l'invariant du dix-huitième ordre figurer comme facteur dans l'expression générale Qy/A des invariants gauches, tandis que A, B, G se présentent seuls dans les invariants directs. Mais, pour parvenir à notre conclusion, exprimons en A, B, G, K les coefficients de la forme canonique. En posant, pour abréger,