ACH-A
on trouvera
XVC5
on a d'ailleurs
D'après
cela, je fais la substitutic
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ÉQUATION DU CINQUIEME DEGllE. OOJ
dont le déterminant est numérique; elle donnera le résultat suivant
H-io[X-hV-hiJ--K[a'— 4v/^]v/ÂT3U2+io[X — X'-(p--[jlO]v/Â^T"^U3
ou bien, d'après les valeurs de )^, [x, )/, p/,
-f-2o/G^(L-HMG — 2G3)A-iT3U2 — 2ov/G=5(L'— M'G)T2U3
+ iov/G^(L — 3MG + 2G3)A-2TU^-9VG^HL'— '5M'G)A-iU^.
Cette transformée pourra servir, absolument comme la forme canonique, à donner l'expression générale des invariants de la forme du cinquième degré, qui seront des fonctions entières de ses coefficients. Or, on observe que A, dans les termes en T^U-, TU% U'% disparaît comme dénominateur; d'après les valeurs de L, M, U, M^, on obtient effectivement
(L j MG — 2G3)A-i
= 2BG2 4-— A[(3B-4-A2)-(G-i- AB)
— 3oAG(G + AB)— 9AG2— 90B2G]
i-AG(3B2-i- AG + A^B),
(L — 3MG-i-2G3)A-2
^ -1 [(3B-i-A2)2(G-i-AB)-3oAG(G-i-AB)-9AG2 9oB2G]
-f-gC(3B2-i-AG-i- A2B),
Tous ces coefficients sont ainsi des expressions entières en A, B, G, K, ayant pour diviseur y/C% et par conséquent un invariant quelconque sera une fonction entière des mêmes quantités divisée par une puissance de G. Mais les considérations précédentes ayant déjà conduit aux expressions P et Q\/A, entières en g^ A, A-, on voit que ce dénominateur, représenté par une puissance de G, dis-
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358 OEUVRES DE C H ARLE S HE RM I T i: .
paraîtra nécessairement comme facteur commun. C'est le résultat que je m'étais proposé d'établir et qui autorise à regarder A, B, G, K comme invariants fondamentaux, puisque tous les autres, quels qu'ils soient, en sont des fonctions rationnelles et entières. M'arrètant à ce point dans la théorie algébrique des formes du cinquième degré, je reviens à mon objet principal en établissant la proposition suivante, qui sert de fondement à ma méthode, et qui montrera comment les invariants s'introduisent à titre d'éléments analytiques et jouent le principal rôle dans la résolution de l'équation du cinquième degré.
Soient f[x^ y) une forme de degré quelconque n et (D{x,y) un de ses coi^ariants de degré n — 2 en x et y\ je dis que les coefficients de Ici transformée enz de V équation f[x^ i) = o, obtenue en posant
sont tous des invariants de f{x^ y).
Avant d'exposer la démonstration, je rappellerai que l'on nomme covariant de
tout polynôme o(^, jk; a^h^ c^ . . .) dont les coefficients sont fonctions entières de a, è, c, ... et tel qu'en posant
/(mXH-7?i'Y, ^X4-n'Y)==.(A,B,G, ...)(X, Y)«
on ait
cp(X, Y; A, B, G, ...) — {^nni! — in' ny ^{m% -i- m'Y, nX -H n'Y ; a, b, c, ...).
On voit qu'en faisant, pour abréger,
F(X,Y)==f(mX-]-j7i'Y, nX~hn'Y) et
<ï>(X,Y)=cp(X,Y; A,B,G,...),
le polynôme <ï> est déduit de F absolument comme o de f.
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ÉQUATION DU CINQUIÈME DEGRÉ. SSq
Cela posé, je considère les deux équations homogènes
/(^, jr)=o,
qui donnent celles de l'énoncé pour y z= \ , et d'où l'on déduit aisément celles-ci
J df
sur lesquelles je vais raisonner. Si l'on y remplace les coefficients a, b, c, . .. par ceux de la transformée A, B, G, . .. , elles deviendront
dF
et il s'agit de comparer le résultat de l'élimination de a: et y entre les équations (i) avec celai de l'élimination de X et Y entre les équations (2). J'observe à cet effet que l'on peut introduire ^ et jk au lieu de X et Y en posant
d'où
dF __ df df dF__ ,d£ , df
dX dx dy dX dx dy
de cette manière les équations (2), en y remplaçant <Ï>(X, Y) par {^rnn! — m' ny (f {x ^ y) ^ deviennent
^y^'Âo'^ '^' dp) "^ ^(^^'- rn'ny^{x, 7) - o,
Or, en multipliant la première par /?, la seconde par n^ et retranchant, il viendra
z{mn' — m' n) -~- (aiX + n'Y){?nn' — m nY (^(x, y)= o,
36o OEUVRES DE CHARLES JIEHMITE.
OU évidemment
df
De même, en multipliant la première par m, la seconde par m ^ et retranchant, on obtient
df
z ~j — V- x{mn' — m' ny-^ ?(^> y) ~ o-
Ce sont donc précisément les équations (i) qui se trouvent reproduites, en j multipliant cp(^,jk) par (mn' — m' ny~^ ou remplaçant \s par -, ; — :— -, et il va être ainsi prouvé que les coeffi-
^ ( mn — m n f-^ ^ ^
cients de la transformée sont bien des invariants de/(x, y). En effet, cette équation en z sera, d'après un théorème connu, privée de son second terme, et, si l'on désigne par D le discriminant, elle aura cette forme
^, ^, . . ., & étant des fonctions entières de a, ^, c, .... Maintenant, si l'on remplace z par ; -, — r— -, elle deviendra
^ ^ ^ {jnn — m ny-^
^« -h ( mn' — m' n )2^'-2 — - 5/^-2
-^{mn — m' ny^-^ — z^^-'^-^. , ,-{-{mn — m ny^^-^^ j- =0,
d'où l'on voit que, par le changement de a, è, c, . . . en A, B, C, . . . ,
les coefficients tt ' f)^ • * *' 77' ^^5 P^^ conséquent, %, M^ . . ., Mj se
reproduisent multipliés par une puissance du déterminant de la substitution, et sont bien des invariants.
Ce qui précède ne peut être appliqué aux formes cubiques et biquadratiques, qui n'ont pas de covariants linéaires ni de cova-
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ÉQUATION DU CINQUIEME DEGRÉ. 36l
riants quadratiques, mais plus tard on établira, pour tontes les formes de degré n égal on supérieur à cinq, l'existence de divers systèmes de /i — i covariants du degré n — 2. Désignant par
l'un de ces systèmes, et posant
j'introduirai l'expression ^ == -|rr^-^? qui contient /z — i quantités
arbitraires ^^, t^^ ..., ^/z i, comme formule générale de transformation à l'égard de l'équation /(^, i)=:o de degré quelconque supérieur au quatrième. On va voir ainsi disparaître en quelque sorte les coefficients de cette équation, pour faire place aux invariants qui prendront le caractère d'éléments analytiques dans les plus importantes questions de la théorie des équations algébriques. En effet, les quantités ^, B, ..., ^ deviendront des fonctions homogènes de t^^ t.,^ . .., ^/2 i, du deuxième, du troisième et enfin du /i^^^ie degré, dont Jes coefficients seront des invariants de la forme/(^,y) ; et, pour montrer immédiatement comment intervient leur propriété caractéristique, en prenant, par exemple, %^ je vais déterminer le degré de ces coefficients dans les divers termes ^^,
Nommons indice d'un invariant ou d'un covariant o(^, y) l'exposant i^ qui figure dans l'équation de définition
cp(X,Y; A,B,G, ...)
= {mn' — m'jiy ^{77iX -H m' Y, nX -\- n'Y ; a, b, c^ . . .),
et soient /,, /s, .-•, in-i les indices des covariants cp,(.r, j^), ?2('^7 j), •••7 ^n-\{^7y) qui entrent dans la formule générale de transformation. D'après la démonstration donnée (§ V), le changement de a, 6, c, . . . en A, B, G, . . ., dans l'équation en ^, revient àremplacer ^1, ^2, ..., par ^^ (m/z^— /?2^i)'>S t^imn' — m'n)h-\...^ et il en résulte immédiatement que l'indice du coefficient d'un terme quelconque t^t<^ dans ^ sera 4+ ^'p— 2. Mais ce coefficient a pour diviseur le discriminant dont l'indice est /!(/? — i) ; par conséquent l'indice du numérateur sera la somme 4+ ^p — 2 + n{n — i ) et son degré en a^b^c^ ... le double de cette quantité divisé par n^
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36'2 OEUVRES DE CH A RLES H E IIMIT E.
c est-a-dire —^ h 2(7z — i). Jin introduisant le desTe ô^
du covariant cpa(^, y) en a, b^ c^ . . ., au lieu de l'indice 4? d'après la relation ii^=z n^^ — /?. + 2, cette formule se simplifie et devient Sa+Sp+ 2/1 — 4. On trouvera pour la forme cubique U, absolument de même, que le degré du coefficient de t^t^t^ est 3a+ S[3 + Sy + 3/i — 6. Ce sont ces fonctions 51 et 3 qui jouent le principal rôle dans la réduction à la forme trinôme de l'équation du cinquième degré, car cette réduction dépend de la résolution des équations ^ = o, |5 = o. Et ici le point qui m'a semblé le plus essentiel et m'a le plus préoccupé consiste à vérifier la première en exprimant t^^ t^^ ^3, tr^ en fonction linéaire de deux indéterminées. La méthode à laquelle j'ai été amené repose en entier sur le choix des quatre covariants du troisième degré qui entrent dans la formule de transformation, et voici comment on les obtient.
Une remarque facile à établir, et dont j'ai fait usage ailleurs (^ ), me servira de point de départ. Elle consiste en ce que les coefficients des termes en ^ et 7], dans le développement de l'expression
où cp(^, y) et o^ (^, y) sont deux covariants d'une forme quelconque/(^, y), sont encore des covariants de la même forme. En supposant oi^x^y) du second degré et ^^[{oc-^y) du troisième, on voit ainsi un premier covariant cubique donner naissance à trois autres, et les éléments de la formule de transformation
t cpi {x^ l)-i- U cp2(^, l)-H ^ 9y(^, 1)-+- «^ ^4(^7 0
semblent s'ofî'rir d'eux-mêmes, en partant du covariant quadratique
+ (aa — 3 pp^-i- 2yy')^7 -f-(a' j3 -- 4!3'y -l- 3y'2)j2
(^) Voir Hermite, Œuvres, t. III, p. 3o8.
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et du covariant du troisième degré obtenu au paragraphe III, ea opérant avec o(^, y) sur ia forme proposée /(^, y)- Désignons^ pour les introduire dans l'expression (i), par<ï>(X, Y) et<ï>^(X, Y),, les transformées canoniques de o(œ^ y) et cp^ (^, y)] on aura
4> (X, Y)=.v/AXY,
<ï>, ( X, Y ) =: /Â( [aX3 -H 3 v/^X2 Y 4- 3 v/^XY2 + fji' Ys),
et l'on pourra remplacer
par
Posant donc
*i[(^-Wa)X, (?-hWA)Y].
= ^3^^(X,Y)-3r^'n*2(X,Y)-f-3$'r|2cï>3(X,Y)-'r|3cî,,(X,Y),
voici, sous forme canonique, les expressions des covariants que nous sommes tout d'abord amenés à prendre pour (D^ (^, y)^
cp2(^, y)^ . . ., à savoir :
4>i(X, Y)=v/Â ([jiX3 4-3v''ifX2Y-4-3v/^XY2-H jj/Ys), 4>2(X,Y)=-- A((aX3-f- v/;ÇX2Y- v/;ïXY2-fjL'Y3), (Ï>3(X, Y) = /Â3(p.X3— /^X2Y— v/;tXY2+[j.'Y3), (Ï>4(X, Y)=:. A2(p.X3— 3v/IX2Y4-3v/^XY2- jjl'Y3).
Le premier est du troisième degré par rapport aux coefficients de la forme proposée, ou, si l'on veut, du troisième ordre ( * ), et a reçu de M. Sjlvester la dénomination de canonisant. Sous cette forme de déterminant, savoir
il sert de base au mémorable travail de l'illustre analyste sur les
(1) Pour abréger, je désignerai désormais, sous le nom d'ordre/ le degré des covariants ou invariants de;/(^, y) par rapport aux coefficients de cette forme.
yx"-
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conditions de réalité des racines de l'équation da cinquième degré. Je me bornerai à observer, à son égard, que toute forme cubique (a, b^ b' ^ a')(x^ yY admettant pour covariant l'expression
(ib^—?,abb'-^a'a\ b'^b' -\- aba' — '},ab"^,
— b'^b — ab'a'-^ia'b'-, —ib'^^ "^a' bb' — aa"-){x, yf,
on en tire un nouveau covariant du troisième degré et du neuvième ordre (];^ (^, j^), dont je désignerai la forme canonique par ^^(X, Y), de sorte que l'on aura
— 3v/Â^( /F-4-fji[j-V^ — 2;j.'/c)xy2
— v/Â^(yVÂ^— 3|jl7c-i- [jiij/2)y3.
Le second covariant cpo(^, y)^ qui est du cinquième ordre, donne lieu à une observation importante. Lorsque la proposée f{x^ y) admet un facteur linéaire au carré, il contient ce facteur à la première puissance, absolument comme les dérivées ~- et -^-; voici la démonstration de cette propriété.
Désignant par a- et -z deux constantes arbitraires, j'observerai qu'en prenant pour les coefficients X, [ji, . . ., de la forme canonique
les valeurs suivantes
X = (6c7 — 5T)GrS, \i— - (Scr 4- 2t)tc7^, (i) { s/k=^i^a\
\ X' = (6t — 5cr)T3,
qui donnent identiquement
X |Ji' — 4 [JL />^ 4- 3 /c = o, X' fJL — 4 |jl' v/>t -4- 3 A: = o,
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elle devient
^^=(crX-hTY)2
X[(6cr — 5^)^3,(4x^307)^^2, (4cr — 3x)crT2, (6t - 5 cr)T3](X, Y)3.
On a donc ainsi, dans le cas d'une racine double, l'expression générale de la forme canonique et, par suite, de tous ses covariants. En particulier, on obtient
4>2(X, Y)=TCriA((7X-|-TY)
X r(3cr+2T)cr2, ^(x-cr)Tcr, —(2^ -h 3-.)t^~\(X,Y)\
ce qui établit la propriété énoncée. Mais on reconnaîtra qu'elle n'appartient plus aux covariants o^^^x^ y) et ^^(.r, y), et c'est ce qui conduit à les remplacer respectivement par les suivants
4?3(^. JK)+ A9i(:27, jk),
4 ?4 (^, r ) + 3 A cp2 (^, jk) 4- 96 t];i ( ^, 7),
qui sont encore du septième et du neuvième ordre, et où elle se retrouve. On obtient en effet, dans le cas d'un facteur double, les expressions
4*3(X,Y)-hAcï>i(X,Y)
^l/Â3x cr(aX-HTY) [(Scr -4- ?.T)cr2, — ^ (t H- (T)Tcr, (3t + '2cr)T2 |(X, Y)\
4cï.4(X, Y)+ 3Acï>2(X, Y)+ 96 ¥i(X, Y)
:=,__ ^J^^Â^crC-uH^ — T:)(3cr2-i-2TcrH-3T2)((7X-}-'T:Y)3,
et, si on les désigne de même par ^^{^^^ y) et o.r, (t, y) afin de ne pas multiplier les notations, leurs formes canoniques seront
<ï>3(X, Y) = v/Â^(5 |aX3 - /^X2 Y - v/X^XY^ + 5 p.' Ys),
<Ï>4(X,Y)= v/Â^[7/Â|JH-96(2/^-3(JLvt-HfJL'[^2)]X3
— 3 \/Â3 [3 y/A v/>Ç — 96(v//f^+ [jt.[j.' V'"^ — 2 [J./c)]X2 Y -H 3 v/ÂJ[3 y/A v/yt — 96(v/F-H jj-jj-V^- " 2 [jl7c)]XY-^
— v/Â3[7v/Â[j.'-f-96(2v/^— 3p/A--i- [J.[Jt.'2)]Y3,
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OU encore
<Ï>4(X, Y)= /Â^[(^^4-75A--T8/0(J^-64X(aV;Ç]X3
— 3v/Â3[(3^--m5iA — 9o/c)v/>^ — 64X>2]X2Y H- 3 v/Â^ [( 3 ^ + 1 5 1 /ï — 90 /c) \Jk — 64 X [jl'^ ] XY^
— v/Â^[(7^--f- 75/t — i8A-)fJt'— 64X'[a\/Â;]Y3.
Tous les covarlants dont se compose la formule de transformation pour l'équation du cinquième degré sont maintenant définis (^), et il ne me reste plus qu'à montrer que l'invariant du huitième ordre D == A-+ 128B est le discriminant de cette équation. Effectivement les équations (i) relatives au cas d'un facteur double
donnent
g =(— SocrM-Gt-ccr — 3oT2)crST%
-d'où
■et en remplaçant g^ A, k par leurs valeurs en A, B, C,
(^) Celui du neuvième ordre mérite d'être remarqué; si l'on opère en effet avec Je covariant quadratique sur 94 (^, y), on est conduit à un covariant du premier degré qui, dans le cas où la proposée contient un facteur linéaire élevé au carré, -coïncide avec ce facteur. Sa forme canonique est
A2[(3^-{-i5i/i-9o/c)^Â^— 64X'ix2]X — A2[(3^-l-i5r/i — 9o^)v/Â^ — 64>.[x'2]y.
Un résultat analogue a lieu pour toutes les formes /= (a, ô, . . ., 6', a') (^, y)'^ •de degré impair et supérieur à trois. Soit, en effet, D le discriminant; M. Cayley -a démontré que, pour D = o, le covariant
, clVf dD ^ clD ^ dD
^ ^ -^ ^ da' db' -^ db -^ da -^
devient la puissance /z^^"'" du facteur contenu alors dans/au carré. Or en opérant
:sur cp(^, y) avec la puissance du covariant quadratique du second ordre
(le la forme proposée, le covariant du premier degré et d'ordre Zn — 4> auquel on sera ainsi amené, sera évidemment, pour D = o, ce facteur" linéaire. Dans le •cas de n = 3, mais dans ce cas seul, il s'évanouit identiquement.
ÉQUATION DUCINQUIÉME DEGRÉ. 067
ce qui fait voir que D s'évanouit bien dans le cas où la proposée admet deux i^acines égales. I/invariant du douzième ordre D, = 2 3 AB + 16C, qui se présentera bientôt, pourrait être appelé second discriminant, les deux conditions D = o, D^ = o exprimant que la proposée contient deux facteurs linéaires doubles.
Vin.
Nous voici parvenus à un point bien important et qui servira d'épreuve à toutes les considérations précédentes, c'est le calcul de la forme quadratique à quatre indéterminées désignée par %, Déjà nous savons que les coefficients de cette forme sont des invariants, je vais prouver de plus qu'ils contiennent tous le discriminant D comme facteur, le coefficient du seul terme f^ étant excepté. Reprenons à cet effet l'expression
__ ^Cp,(a7, ])+ Il CP2(^, 1)+ V ^z{^, l)-^ ^ ?4.(^, 0
et soit pour un instant
je dis qu'en nommant Xq^ X\^ X2^ oc^^ Xi, les racines de l'équation proposée, la quantité @(^o) sera divisible par
Remplaçons à cet effet £? -i» -^> — ? - dans 0(^) par leurs valeurs ^ ^ a a a a a \ / 1
en fonction des racines, 6(^0) prendra évidemment la forme suivante :
n désignant une fonction entière. Gela étant, plaçons-nous dans le cas de deux racines égales, en supposant par exemple Xq=^X\^ chacun des covariants qui entrent dans 0(^), et par conséquent cette fonction elle-même, s'évanouira pour x = Xq. Il en résulte que Ti-{Xoj x^^ Xo^ x^^ X/^) s'annule quand on y fait ^q = ^,, et il en serait de même pour
Xo=X2, Xq= X-i, Xq—03!,]
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d'où l'on voit que cette expression est divisible par
On peut donc, en désignant par ^(x) une fonction entière, écrire
^ ^Cpi(57, l)
■<ï>(rr).
Cela posé, et observant que l'équation en z n'a pas de second terme, j'exprime :p- par la somme des carrés de ses racines, ce qui donnera
le signe 21, dans le second membre se rapportant aux diverses racines x = Xq^ ^1, .... Or, on sait, par un théorème élémentaire, que
se réduit à une fonction entière, et l'on voit par là que, à l'exception du coefficient ^-, tous les termes de — sont entiers, ce qui démontre la proposition annoncée.
Déterminons maintenant l'ordre de ces termes à l'aide de la formule du paragraphe VI,
Oa-h 01^ -H 271 — 4,
et qui s'appliquera, en prenant pour Si, §2, 83, S/,, les valeurs 3, 5, ^, 9. Pour les coefficients de ^-, tÇj ç^ ; u^j uw^ (^-, on obtiendra les nombres 12, 16, 20; 16, 20, 24, multiples de 4 5 quant aux coefficients de tii^ tw^ uw^ vw^ ce seront des invariants d'ordres impairement pairs : t4, 18, 18, 22, et par conséquent tous sont nuls, car, en les divisant par le discriminant qu'ils contiennent en facteur, l'ordre des quotients est inférieur à 18, qui est le plus petit degré possible d'un invariant gauche. On reconnaît ainsi, et avant tout calcul, que %^ est la somme de deux formes quadratiques à deux indéterminées, l'une en t et c^, l'autre en u et w^ de sorte que le mode de solution de l'équation ^ = o, dont dépend essentiellement la réduction à la forme trinôme de l'équation en ^, se
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EQUATION DU CINQUIEME DEGRE. obQ
présente de lui-même en égalant séparément à zéro ces deux formes.
Voici cette équation qu'on obtient par une méthode facile :
( [Di^^2 6BD/^p — D(Di — ioAB)p2]
' ( -+-D[— Bz^24 2Di^(^+(9BD — 10ADi)(^2]::::^ O.
D,, comme on l'a dit plus haut, est
'25AB + i6G, et, en posant
Di^2 6BD^P — D(Di— ioAB)ç^2^ o, Bï^2 2Diî^P^— (9BD — ioADi)(^2^o,
on trouvera, si l'on écrit, pour abréger,
N:=D2 — loABDi-t-gB^D,
ces valeurs bien simples :
3 BD H- /nD DiH-/n
Aussi avais-je pensé qu'elles étaient la conclusion définitive de ma méthode, lorsqu'un nouvel examen de l'équation (i) me fit apercevoir cet autre mode de solution où des invariants du huitième ordre seulement figurent sous les radicaux carrés. En récrivant ainsi :
on la vérifie si l'on pose
Or, en faisant
^-4=v/^^' i^=:U + 5AW, (;=-Lv, w = ^,
ces équations deviennent
T2 V2-}-4UW = o, — 5AV24-3v/DTV + U2-HioAUVV-f-(25A2— 9D)W2=: o. n. ~ IL 24
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La première est satisfaite par ces valeurs
T = pW- -U, V = pW-i- -U, 9 P
où p reste arbitraire, et, en les substituant dans la seconde, il suffira pour la vérifier également de prendre
Deux voies s'ouvrent donc comme conséquence de ces deux modes -de solution, pour achever la réduction à la forme trinôme en calculant et résolvant l'équation du troisième degré M = o. Et, comme on ne peut voir d'avance aucun motif de préférer l'une à l'autre, toutes deux doivent être suivies afin d'en comparer les résultats, et reconnaître les irrationnalités qu'elles introduisent dans la formule de substitution. Mais, me sentant plutôt attiré vers la méthode de résolution de l'équation du cinquième degré à laquelle M. Kronecker a attaché son nom, j'ai préféré consacrer à l'approfondir le temps que ces calculs paraissent exiger. J'indiquerai cependant quelques cas particuliers où ils s'abrégeraient beaucoup, en supposant par exemple D^==o ou B = o; car il suffirait de prendre, dans le premier,
et, dans le second.
Enfin, si l'on avait
ç = o, Il = 3 y/D (
ce qui rendrait illusoires les expressions de T et V, on devrait
poser
U =. o, T = - V, d'où
En m'arrêtant donc à ce point, en ce qui concerne la première méthode de résolution, je vais encore, avant de m'occuper de la méthode de M. Kronecker, déduire de ce qui précède la détermi-
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nation, an moyen clés invariants, du nombre des racines réelles ou imaginaires de Féquation du cinquième degré.
Les résultats obtenus dans l'étude des formes à deux indéterminées, indépendamment de lear intérêt propre, paraissent avoir pour conséquence de donner à la théorie des équations algébriques une base nouvelle, et je ne pense pas m'éloigner trop de l'objet principal de ces recherches en montrant de quelle manière les nouveaux éléments de l'Algèbre, invariants et covariants, s'introduisent dans les questions résolues pour la première fois par le théorème de Sturm. Maison verra leur rôle commencer seulement à partir du cinquième degré, comme pour rendre manifeste, sous un nouveau point de vue, la profonde différence qui sépare les équations des quatre premiers degrés, seules solubles par radicaux^ de celles des degrés supérieurs. Ainsi on a déjà remarqué que la formule générale de transformation
n'a pas d'existence effective à l'égard des équations du troisième et du quatrième degré; mais, ces cas exceptés, je vais donner la définition des n — i covariants qui servent à la composer.
Je dis, en premier lieu, que toute forme du degré n admet un covariant quadratique du second ordre en supposant n impair, du troisième pour 7z = 4^-l-2, et enfin du cinquième pour n=i/[i-\-S, ce qui exclut le cas de ji = ^.
On a effectivement, pour les formes du deuxième et du troisième degré (a, b, a')(x,yy, (a, b, b' , a'){xyyY, ces covariants
( aa' — b'^y {a, h, a')(^, j)-, ( ^2 ^'2 ^ 4 aU^ -^[^aJh'^—Z 62 h"^ — 6 aa bb' y ■x{b'-—ab', bb'—aa', b'^— a'b){x, y^,
d'ordre 2i-\-i et 4^ + 2; on en conclut par la loi de réciprocité l'existence, pour les formes de degré ii-\-\ et 4^'-!- 2, de covariants quadratiques du deuxième et du troisième ordre. Pour le dernier cas, il est nécessaire de partir des formes du cinquième
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degré, et je vais établir qu'elles ont un covariant quadratique d'ordre 4^'~H 8- J'opère à cet effet sur le covariant cubique et du troisième ordre, ayant pour expression canonique
cï>,(X, Y)=: v/Â([a, /;?, //c, (V)(X, Y)3,
avec le covariant linéaire et du cinquième ordre obtenu paragraphe III, savoir :
A(v/IX-t-v/Â'Y).
On parvient ainsi au covariant quadratique et du huitième ordre, savoir (* ) :
et il suffit de le multiplier par A^* pour obtenir l'ordre 4^'+ 8, de sorte que l'on conclut, par la loi de réciprocité, comme précédemment, l'existence d'un covariant quadratique du cinquième ordre pour le degré 4^*+ 8.
Ce résultat peut servir de base pour généraliser la notion des formes canoniques (-) telle qu'elle a été donnée au début de ces recherches; mais actuellement je me bornerai aux conséquences que voici :
Désignant par ^(^x^y) le covariant quadratique auquel on vient de parvenir, j'observe qu'en opérant sur la proposée avec o{x^ y) on obtient un covariant du degré n — 2 que je représenterai par 0\ [x^y). Cela posé, et en recourant de nouveau au théorème dont il a été fait usage au paragraphe VII, le système des a — i covariants du degré n — a pourra être défini par les coefficients des termes en ^ et t] dans l'expression
(^) Un coefficienL numérique — 3 serait à rétablir devant l'expression qui suit.
(2) On ne pourrait plus, en considérant par exemple le septième degré, déterminer les coefficienls de la transformée ;J' =(>^, [J-, v, \/l, ^7, v', [jl', X') (X, Y)*^ en fonction de Xk' = g, [j.[x' = h, vv' = k et l. Il serait nécessaire de joindre à ces quantités, V — v', |x — jj-'j et mémo X — "X' qui s'expriment facilement par des invariants gauches; par cela seul on peut juger quelle différence sépare le cinquième degré des degrés supérieurs.
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ÉQUATION DU CINQUIÈMi: DEGRÉ. 878
A la vérité, et dès le cas de /z = 5, ces covariants ne sont pas ceux qui ont été employés; mais ils présentent cet avantage d'avoir des transformées extrêmement simples, qu'on peut obtenir explicitement si l'on y fait Ja substitution propre à ramener cp(^, y) à la forme monôme y^AXY. Et c'est ainsi qu'on peut démontrer qu'ils sont linéairement indépendants; mais j'arrive immédiatement, sans m'arrêter à ce point, à mon principal objet, qui est d'obtenir, au moyen des invariants de la forme proposée /(^, jk)? 1^ nombre des racines réelles et imaginaires de l'équation /(^, i)=: o.
A cet effet je rappellerai le principe dû à Jacobi, qu'en réduisant à une somme de carrés, par une substitution réelle, la forme quadratique
(jo-^ (^ii-^ <^^h-T~' ' ■■+■ <^^^~^ i/i-i y
+ ( ^0 4- /c^i -H /:2 ^2 -4- . . . + /c'^-i tn~i y ,
où a, ^, . . ., k sont les racines de l'équation proposée, le nombre des carrés affectés de coefficients négatifs est précisément égal au nombre des couples de racines imaginaires. Et, si l'on fait
t.q(x)^ tï, (.^), ..., 7z,i i(x) étant des fonctions rationnelles quelconques de Xj le même fait a lieu à l'égard de la forme plus générale
Or, en prenant
tous les coefficients seront des invariants de /(^, jk), et par conséquent, si on la réduit à une somme de carrés^ ce seront bien des invariants dont les signes détermineront le nombre des racines réelles et imaginaires de l'équation /(^, i)=:=o. On peut encore
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observer qu'en posant
on aura
de sorte qu'il suffît d'opérer sur la forme quadratique k n — i indéterminées
C'est ce que je vais faire dans le cas de l'équation du cinquième degré, en supposant comme précédemment, pour obtenir la réduction à ]a forme trinôme,
ce qui donnera
-DF =:[Di^2 6BD^(; — D(Di — ioAB)p2|
+ D[— Ba2-H 2D1 i^t^ -+-(9BD — [oADi)(^2].
J'observerai d'abord que le discriminant désigné par D est le produit des carrés des différences des racines, multiplié par le facteur positif 5"^, et l'on en conclut aisément que la seule condition D«<^o est nécessaire et suffisante pour que l'équation possède deux racines imaginaires et trois réelles. Mais l'hjpothèse D ;> o convient aux deux autres cas de cinq racines réelles ou de quatre imaginaires, qu'il s'agit donc d'examiner.
Pour le premier, F doit se réduire à uae somme de carrés tous affectés de coefficients positifs; ainsi il faut et il suffît que les formes quadratiques
(I) Di?2 6BD^(; — D(Di — ioAB)p2,
(II) —Bi/.2-h'2Diww+(9BD — ioADi)w2
soient définies et positives. Faisant donc, comme au paragraphe VIII,
N=:D5 ioABDi+9B2D,
on aura les criteria suivants :
N<o, Di>o, B<o.
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Pour le second, deux des coefficients des carrés doivent être négatifs, ce qui est réalisé de deux manières différentes : d'abord par la condition unique N ;> o, car les formes (T) et (IT) seront ainsi des différences de carrés, et ensuite en les supposant toutes deux définies, l'une étant positive et l'autre négative. Gela donne avec N <^ o les conditions
Di>o, B>o,
ou bien celles-ci
Di<o, B<o,
c'est-à-dire simplement BD^ >> o.
On remarquera que parmi ces criteria ne figure point la combinaison
N < o, Di < o, B > o ;
et le motif de cette exclusion est qu'on siq^poserait ainsi les formes (I) et (II) définies et négatives, c'est-à-dire F réductible à quatre carrés affectés de coefficients négatifs, ce que l'on reconnaît impossible d'après son origine même. Le Tableau suivant peut donc résumer nos conclusions :
N >> o, une racine réelle, quatre imaginaires;
N < o, BDi> o, une racine réelle, quatre imaginaires;
N -< o, BD^ < o, cinq l'acines réelles.
Mais voici un autre système de criteria auquel va nous conduire la méthode suivante :
Supposant toujours le discriminant positif de manière, à n'avoir à distinguer que deux cas, j'écris, comme au paragraphe VIII,
-DF == Di(r-— D(;2|-2Di^(^ — ioADt^2)
Gela posé, soit pour un instant
^^ == ^2 Dp2 i 2DtiW — I0AD(^2^
^H- w:^=[^2 6oJi^(;-i-(ioAco — D)(^2]
— [(jùu^ — iD uw -h D(io A — Qw) (p2].
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376 OEUVRES DE C II A R L ES HE RM l T E ,
On observera qu'on peut rendre un carré parfait chacune des deux formes quadratiques en t et i^^ a et (v, en posant
90)- — ToAco -h D = o,
de sorte qu'en nommant co etw^les deux racines de cette équation, on aura
et, par conséquent,
D/r^BD^= £l^i^f(.-3coVr-.-,o'(«-iJ.)^]
\{t — 3 0) (^ )2 — œ lu w \
D,aj'— BD
Or voici les conséquences de cette nouvelle décomposition en carrés :
Supposons les racines co imaginaires, c'est-à-dire 20 A- — gD<;o, on pourra évidemment poser, en désignant par T, U, V, ^^^ des fonctions linéaires réelles de ^, u^ v^ rv,
Dioj^- BD o)' — co , D.w- BD / D
oj — co \ co
D.co'— BD/ D
^t — 3co(;)^==(T-v/^^V)', u— — w )" = (U-l-v/^W)^
'-(u-v/=Tw)',
de sorte que F deviendra
ou bien
Nous parvenons ainsi à deux carrés affectés de coefficients négatifs, et, par conséquent, quatre des racines de l'équation proposée sont imaginaires.
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Soit, en second lieu, 25A-— 9D>o; deux cas seront à distinguer, suivant que A sera positif ou négatif.
Dans le premier, les deux racines w sont positives, on est donc comme tout à l'heure conduit à deux carrés dont les coefficients sont négatifs. Et dans le second cas il en sera de même encore si
les cfuantites — p-^ — ^ sont de signes contraires. Ur on
^ a» LO Lu OJ "^
trouve
(Dico — BD)(DiCo'-BD)r=: -ND,
d'où la condition
Enfin, en supposant IN < o, F se réduira à une somme de carrés, dont les coefficients auront tous le même signe, et par conséquent seront positifs, le cas où ils seraient négatifs devant être rejeté comme on l'a déjà vu. Les conclusions qui précèdent sont ainsi résumées :
20 A- — 9D < o, une racine réelle, quatre imaginaires; 25 A-— 9D > o, A > o, une racine réelle, quatre imaginaires; 25A2— 9D > o, A < o, N > o, une racine réelle, quatre imaginaires; 23 Â- — 9D > o, A < o, N < o, cinq racines réelles.
Elles s'accordent avec les résultats auxquels est parvenu M. Sylvester dans le Mémoire déjà cité, et j'observerai, pour en faciliter la comparaison, qu'on a, entre A, B, C et les cjuantités désignées par J, K, L, A dans ce Mémoire, les relations suivantes :
