J = A, K= — B, 9L=: G-H AB
A =:= A3— 2IIL.
Mais la marche que j'ai suivie ne saurait conduire à ce fait, si important et si nouveau en Algèbre, des criteria renfermant un paramètre variable entre certaines limites, et qui me parait une des plus belles découvertes du savant géomètre anglais. C'est dans une autre direction que je vais suivre encore ces questions intéressantes, en m'occupant du système des fonctions donl les signes servent à déterminer le nombre des racines réelles, comprises entre des limites données.
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Après avoir remplacé par des invariants, dans les équations de degré supérieur au quatrième, les expressions données parle théorème de Sturm pour la détermination du nombre de leurs racines réelles et imaginaires, on est amené à se demander s'il n'y a pas, à partir du cinquième degré, une modification correspondante à découvrir dans le système des fonctions que ce théorème célèbre présente sous une seule et même forme analytique pour les équations de tous les degrés. On peut ainsi penser à retrouver leurs propriétés caractéristiques dans certains covariants, afin de les employer alors au même usage; mais ce sont des covariants doubles qui m'ont paru s'offrir au moins de la manière la plus immédiate et la plus facile, comme je vais le montrer.
Mon point de départ est dans une généralisation du système des
fonctions
{a—by \{x — ■ a){x — 6 ) '
que je vais d'abord indiquer.
Employant avec M. Sylvester (^), afin d'abréger, le symbole Ç(a, b^ . . ., k) pour désigner le produit des carrés des différences des racines a, b^ . . ., A', je poserai
(^) On a Theory of the syzygetic relations, dans les Transactions philosophiques de i853, p. 457.
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ÉQUATION DU CINQUIÈME DEGRÉ. Syg
de sorte que -^^ sera l'invariant de la forme quadratique
~ ^^(to-hat.^-^- a^-U-^-.. .-^aHiY
De là on conclut déjà, d'après le principe de Jacobi (^), que le nombre des variations de la suite
(l) V, Vu ^2, ..., \^.
est égal au nombre des racines réelles de l'équation V = o comprises entre ^ et x^^ plus le nombre des couples de racines imaginaires. Cette dernière quantité se déterminant en faisant xz=zx'^ on voit que les nouvelles fonctions qui sont à deux variables remplissent le même objet que celles de Sturm. J'ajoute qu'elles ont absolument les mêmes propriétés et, bien que je n'aie pas à les employer ultérieurement, j'indiquerai, à cet égard, les propositions suivantes.
Soit
les coefficients A/, B/, ... étant des polynômes entiers en x^ du degré î, on aura, entre trois fonctions consécutives \'^/i, ^i^ "^i+ii la relation suivante :
On voit ainsi qu'elles pourront de proche en proche s'obtenir toutes en partant des deux premières, Pq ou bien V qui est le premier membre de l'équation proposée, et \'^^ dont voici l'expression. Supposant que V soit donné par la fonction homogène f(x^y) pour y =z i^ on aura
.'Éf + if
dx dy
en faisant de même y = i •
C'est donc uniquement dans l'introduction de cette quantité
( ' ) Ueber eiiien algebraischen Fundamentalsatz und seine Anwendungen {Journal de Crelle, t. 53); voyez aussi une Note de M. Borchardt faisant suite à l'article de Jacobi.
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38o OEUVRES DE CUARLES HERiMITE.
à la place de la dérivée Vj = y- que consiste la modification apportée aux fonctions du théorème de Sturm, et, pour bien en montrer l'efFet, je vais employer succinctement le mode de démonstration de ce théorème fondé sur des considérations de continuité, en laissant fixe la quantité x' et faisant croître x de x^ à X. Partant pour cela de l'équation
je remarque que, si x' est en dehors de ces limites et supérieur à X par exemple, \'^, se comporte exactement comme la dérivée Vj . D'ailleurs, quand une fonction intermédiaire quelconque Vt s'annule, ^^i^ et t?/,^ sont de signes contraires; donc l'excès du nombre des variations de la saite (2) pour x = Xqj sur le nombre des variations pour ^ = X, est égal au nombre des racines réelles de l'équation V = o, qui sont comprises entre Xq et X. En supposant x^<Cxq, on pourrait encore raisonner de même, mais en faisant décroître ^ de X à ^Tq. Enfin, quand x' est compris entre Xq et X, on trouvera que l'excès du nombre des variations pour x^Xq sur le nombre des variations pour ^ := X représente le nombre des racines réelles comprises entre Xq et x\ moins le nombre des racines comprises entre x' et X, et ces résultats s'accordent évidemment avec l'énoncé donné plus haut. J'indiquerai, en second lieu, la relation
Wî et U/ étant des polynômes rationnels et entiers en x et x^ , Le premier W/ est l'invariant de la forme quadratique
\ (a? — a){x' -~a){tç^-\- ati-\- a^-t^-^. . .-\- a^-Hi-i)'^-, de sorte que la suite des polynômes à deux variables
I, Wi, w„ ..., w,
donne par les variations, absolument comme la suite des fonctions "Çi^ le nombre des racines réelles comprises entre x et x' , augmenté du nombre des couples de racines imaginaires. Pour avoir
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l'expression de U^-, soit
et de même
^Hp^g^ r)==^{a—p)(a~ q){a— r){a — x'), et ainsi de suite. On trouvera ainsi
1)2= Xj(^ — a)(x' — 6ï)62(a),
U4= /.{^ — ce) (^ — b){x — c).{x' — a){x — b){x' — c) t!^(a,b^c)0^(a^b^c),
La loi de ces expressions est évidente, et, bien que dans l'équation (2) l'indice i ne doive pas surpasser n — ^ i , on peut néanmoins les continuer jusqu'au terme JJ,2 que l'on trouve aisément avoir pour valeur "Q^ X^,. On obtiendrait de même d'ailleurs
W,,= V\^„ d'où Pn+l=-0,
comme on pouvait effectivement s'y attendre. Mais c'est la relation
qu'on doit surtout remarquer; si, pour abréger, on représente par -i-j» -r» • • •? •:rT les valeurs de la fonction V^ pour ^==:a, 6, ..., k\ de sorte que
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on aura les expressions suivantes :
Wn-i - V t?„ y ~ ,
On voit assez, sans aller plus loin dans cette étude, l'étroite liaison de ces nouvelles fonctions avec celles du théorème de Sturm dont elles reproduisent les propriétés analytiques. Elles servent ensuite de transition naturelle et facile pour arriver à celles dont je vais établir l'existence à partir du cinquième degré et qui sont des covariants doubles de la forme /(^, j), l'équation proposée étant /(^, i)= o. Pour cela, il suffira de remplacer la forme quadratique
qui donne naissance aux fonctions \'^, par celle-ci :
■rr-(a),
ce — ay
X — ay OÙ l'on a, comme au paragraphe X,
En effet, les expressions '— étant des covariants doubles, et
' ^ X — ay
les quantités II (a) des invariants, tous les coefficients de cette forme seront des covariants doubles en x et y d'une part, x^ et y' de l'autre, et auxquels on pourra donner /(^, y) pour dénominateur commun. Mais je ne veux pas m'étendre davantage sur ces questions générales, qui m'éloigneraient de mon sujet; je m'abstiendrai même d'appliquer ce qui précède à l'équation du cinquième degré, pour entrer immédiatement dans l'étude de la méthode de résolution par les fonctions elliptiques dont M. Kronecker est l'auteur. Les recherches que je vais exposer m'off'riront d'ailleurs l'occasion de donner un système spécial au cinquième degré de ces covariants en x et y, x^ et y^ qui peuvent remplacer les fonctions de Sturm.
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ÉQUATION DU CINQUIÈME DEGRÉ. 38ci
XTI.
La transformation des fonctions elliptiques conduit à deux sortes d'équations algébriques de la plus grande importance pour l'Algèbre et la théorie des nombres ; les unes sont entre les modules X
et k, les autres entre le multiplicateur -^ et le module. Ce sont ces
dernières qui ont été, au point de vue de la résolution de l'équation du cinquième degré, le sujet des beaux travaux de M. Kronecker et de M. Brioschi, et, comme les résultats obtenus par ces éminents géomètres me serviront de point de départ, je vais les rappeler succinctement.
D'après un théorème de Jacobi, démontré dans le n^ 3 des Annali di Mathemalica, t. I, année i858, p. 1^5, par M. Brioschi (^), on
sait que les racines de l'équation du sixième degré entre v-, -=■ x-
et A", savoir
M sin am 4 w sin am 8 to
sin coam4w sin coamSw
K vK 4- z^K' o / 7
Cl) étant successivement — et p pour v = o, i , 2, o, 4? s expriment de la manière suivante :
Désignons par y/^Tv celle qui correspond a co == : > ce cjui
conduit naturellement à adopter la notation \l x^ pour la première qui est donnée en faisant iù^=: -^\ on aura
(i) < \/^==r Ao-H Ai-H A2, < v/^= Ao+ p-'^Ai-hp^A.,
( \/ xi — Ao -h p Al -H p^ A2 , l si x,^ =r Ao -i- p-* Al -f- p A2 ;
p étant une racine cinquième de l'unité. Ces expressions remar-
(^) Le P. JouberL avait trouvé, de son côté, la même démonstration, en s'occupant de la formation des équations entre M et k pour la transformation relative au cinquième, septième et onzième ordre {Comptes rendus, séance du 12 avril
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quables n'appartiennent pas uniquement d'ailleurs à l'équation entre œ et k : elles se retrouvent à l'égard des racines des équations analogues (^) que donne la théorie des fonctions elliptiques
entre linverse du mumplicateur x et les quantités ^ —j^'> -^t' ^( ^ 4- ^ ) , L'idée hardie, et qui devait être si féconde,
VA Av
d'étudier en général toutes les équations du sixième degré dont les racines s'expriment de cette manière, quels que soient Aq, A,, Ao, revient en entier à M. Kronecker. Un premier résultat, obtenu mais non publié par le savant géomètre, a été donné par M. Brioschi à la page 2 56 des Aiinali dl Matematica^ t. I, année i858, et consiste dans la formation même de cette équation du sixième degré. Si l'on pose
A = Ag-H A1A2,
B = 8AJA1A2— sAgAf A|-!-AïA| — Ao(Af + A|),
G^SsoAgAf A|--i6oAJAf Ai-i-2oA5A5;A|H-6A'JA|
— 4Ao(32AJ — 2oA2AiA2+5Af A|)(Af-i-A|)-HAlo-h A|o,
elle aura cette forme remarquable (-) :
{x — kY{x -5A)-i-ioB(;r~A)3— G(^ — A)+5B'^— AC = o.
Un second résultat extrêmement important est dans l'abaissement de cette équation au cinquième degré (^). Les expressions données par la formule
l'indice v étant toujours un nombre entier pris suivant le module 5, sont en effet les racines de l'équation suivante, où 5^11 représente
(^) M. Brioschi, Sul methodo di Kronecker per la rlsoluzione délie eqiiaziojii di quinto grado, Atti delV Jnstituto Lomhardo, t. I, i858, p. 276, § II, et le P. JouBERT, Comptes rendus, t. XLVII, i858. p. 34i.
( 2) M. Kronecker, Ueber die Gleichungen fûnften Grades {Journal de Crelle, t. 59, année 1861).
(3) Le cas particulier de l'équation M et k avait été pour la première fois obtenu par le P. Joubert ( Comptes rendus, séance du 12 avril i858, t. XLVI, p. 7^8)-
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le discriminanl (M de la proposée, savoir :
y5|2oB74-Hio(9B2— AG)73|-iooB(9B2— AG)72
-4-25(9B2 — AG)2j — /n r= o.
Enfin cette réduite peut être simplifiée, et, en posant \^lyz=:\x^ M. Brioschi parvient ultérieurement à ce beau résultat (-) :
Il sert en effet d'origine à ces équations remarquables du cinquième degré dont les racines s'obtiennent sous forme explicite à l'aide des transcendantes elliptiques, et qui, à cet égard, offrent deux cas principaux. Le premier s'obtient en posant
alors l'équation du sixième degré en x n'est autre que la relation entre le multiplicateur et le module considérée plus haut, et, comme
on l'a dit, on a
/- sin amca sin amSco
sin coam4 w sin coamS co
Quant à la réduite, elle a la forme trinôme
à laquelle j'ai eu pour but, dans la première partie de ces recherches, de ramener toute équation du cinquième degré. Le second cas s'obtient en posant
il conduit à la réduite
(^) On trouve aisément, pour A = o,
2t, pour B = 0,
(2) N° 5 des Annali cli Maternatica, année i858, t. I, p. Saô.
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OU plus simplement, en mettant -777 au lieu de x^
et c'est à cette équation particulière que la méthode de M. Kronecker permet, comme on le verra bientôt, de ramener le cas général. Quant à l'équation en x du sixième degré, ses racines s'expriment de cette manière
cosamaco cosamZtfjo
cos am 4 w cos am 'i lu
K vK-i- ili' ...
tù étant toujours — et ; nous avons ainsi les quantités par
lesquelles M. Kronecker est parvenu le premier à représenter certaines fonctions cycliques des racines de l'équation générale du cinquième degré, et par conséquent les racines mêmes de cette équation. Mais je renonce à dire, en énumérant ces divers résultats, ce que je crois plus particulièrement appartenir au géomètre allemand et à M. Brioschi, plusieurs choses fondamentales me paraissant avoir été simultanément découvertes par les deux auteurs. Je citerai surtout ce qui concerne les résolvantes de l'équation générale du cinquième degré, dont les racines ont la forme donnée par les équations (1). J'ai étudié avec admiration l'analyse donnée par M. Brioschi sur ce point si important, et elle me servira de base pour les considérations que je vais exposer.
Désignons par ^v? l'indice étant un nombre entier pris suivant le module 5, les racines de l'équation (a, [3, y, y^, [3^, o'/)(^, i)-^== o, de manière à représenter par ces formules de M. Betti, savoir
^ay-
Ç(av-t-6)^+c.">
OÙ a, 6, c sont également des nombres entiers pris suivant ]e module 5, les 120 permutations de ces racines. Elles se décomposent en ces deux groupes de 60 permutations conjuguées,
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ÉQUATION DU CINQUIEME DEGRÉ. SSy
savoir
(II) i f"'""* j,
de sorte que toute fonction rationnelle des racines, invariable par les substitutions d'un de ces groupes, n'aura que deux valeurs distinctes, et s'exprimera rationnellement par les coefficients de la proposée et la racine carrée du discriminant. Considérant désormais comme quantité adjointe cette racine carrée, on pourra se borner aux substitutions (1), et les fonctions des racines dont nous allons surtout nous occuper, qui ont seulement six valeurs, seront caractérisées comme ne changeant pas par les substitutions ^a-v^^b- Soient donc ?^ = F(^o? ?m s2, ^3, ^0 une telle fonction et Un ce qu'elle devient en remplaçant ^v par ^sv^z? ^^^ ^^^ vaJeurs qu'elle pourra prendre pour les 60 permutations (1) seront ?/, u^^ ?/,, u^^ it^^ u^j et le système de ces quantités donne lieu à la remarque suivante. Convenant de représenter la première par u^^ et les autres par u,i) l'indice étant pris suivant le module 5, on vérifiera très facilement qu'aux substitutions
(A) correspondent ( ' )
Mais les substitutions (A) répétées donnent toutes celles des formides (I), et il est visible qu'en composant entre elles les substi-
Un
tutions (B), on trouvera pour résultat | u^j^^j, h ^^^ ^1 c^ cl étant
V en -hd j
des entiers pris suivant le module 5 et tels que ad — bc est résidu quadratique. On voit donc que le groupe de l'équation en u^ dans
(1) Par ui se trouve désigaé u,^', n' étant un entier tel que nn'~i (rnodâ).
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le sens de Galois, est le même que celui de l'équation modulaire du sixième degré; mais cette remarque, que j'avais indiquée (^), n'est qu'un premier pas vers un résultat beaucoup plus important donné aussi par M. Brioschi.
Supposons qu'au lieu d'être invariable par les substitutions îa^v+b') la fonction des racines que l'on vient de désigner par u soit cyclique, et change de signe quand on y remplace ^v par ^4v; on trouvera qu'aux deux premières substitutions (A.) correspondent
celles-ci ' ] ^ [? ] ^ [> et que le résultat de la troisième est
représenté ainsi :
\ Uq U^ — Ui W3 U2 — Ui, \
Cela posé, faisons dans les relations (i) du paragraphe précédent
Aq\/'5 = k^/s -h ko + kl -h /c2 -H k^ -h k^.^ -Aiv^ = /co-4-p^/(:i-H ps/ca-l- p^ÂTs-f- p/fi,
-A2V/5 = /l'o-f- p/ci -f- p2Â:2H- p^/cs-H p''/^4,
p étant une racine cinquième de l'unité, satisfaisant à la condition
et elles deviendront
s/x^ — k^ \/5 -H ÂTo + ^1 + f^t + k-i -H ki,^ v/^o = k^-^ ko \/5 — kl -h /ca + k^ ■— kj,^ sfxl — k^ — /co H- ki \/5 — /c2 + kz -\- ki,. sjx^ — k^ M- /co ~ kl H- /c2 \/5 — /c.s -h K-, s/xz = k^~^ ko-h kl — k^ -4- /C3 v/5 — /^ , \/^ = /Coo — ko -I- /ci -H A"2 — /cs -H ^^4 v/5 .
Or, en représentant le système des quantités jr et k par .r,^ et /r^, l'indice devant recevoir les valeurs co, o, 1,2, 3, 4* on
(^) 5fZ7' Z(2 théorie des fonctions homogènes à deux indéterminées {Cambridge and Dublin Mathématical Journal, année i854). Hermite, OEuçres, t. I, p. 348.
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vérifie immédiatement qu'aux substitutions \ ^"' >? ] ,^ } cor-
!i/ "y il i/ 9^ i
"" j '' ? et enfin que la suivante
donne absolument de même pour
résultat
sjx^, V^5 sl^u V''^2, /^3, v/^4 j
On voit donc qu'en posant kn'=^Un les substitutions élémentaires (A) effectuées sur les racines ^v ne feront que reproduire, sauf l'ordre ou le signe, les quantités y/^/z ; par conséquent il en est de même de toutes les substitutions (I), et les coefficients de l'équation du sixième degré en x sont des fonctions rationnelles de ceux de l'équation proposée du cinquième degré, et de la racine carrée du discriminant.
La belle découverte de M. Kronecker est une conséquence immédiate de ce que l'on vient d'établir. Revenant en effet aux expressions désignées dans le paragraphe précédent par A, B, G, on voit qu'en disposant de la fonction cyclique u et du module, de manière à avoir
les six quantités sjx seront explicitement données par la formule
cos am 2 co cos am 4 w cosam4w cosamsto
A cet effet, soit pour un instant
la fonction cyclique choisie par le savant géomètre est celle-ci, où figurent deux indéterminées p et ^, savoir
u=^ (oi2)-H(T23) + (234) + (34o) + (4oi) -(2io)-(32i)-(432)-(o43)-(io4).
Cela étant, la condition A = o détermine — par une équation du
Sgo OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
second degré; la relation
G3 i6(i — i6/cVc^2)3
dont le premier membre dépend seulement de — ? donne k^k^\
enfin la condition B = — TTUl Q^chève de déterminer p el q. Voici maintenant une remarque importante qui résulte de cette méthode.
On a va tout à l'heure que l'équation du sixième degré
(i) (^A)5(^ — 5A)-f-ioB('^ — A)3— G(^ — A)-h5B2 — AG = o
était réductible au cinquième, la transformée obtenue par M. Brioschi ayant pour racines les expressions
Zv = -^-= [( X^—Xy) ( a7v+i — Xy-i ) ( .rv+2 — ^V-2 )] ^ •>
où l'indice v prend les valeurs o, 1,2, 3, 4- H s'ensuit qu'en partant de l'équation générale
et faisant kn=^ Uni nous allons pouvoir revenir au cinquième degré en obtenant comme conséquence du passage par l'équation (i) ces résultats bien remarquables. En premier lieu la transformée en z^ savoir
. 5B , 5(9B2 — AG) i 4/-
ne contient pas, comme on le voit, de puissances paires de l'inconnue. En second lieu, comme on l'a dit plus haut, dans le cas deA=::i, B = o, C= — s^/f-A-^-, et dans celui-ci : A=o,
15 = — TTT7ÏÏ' L( = 2^ j—r-, , c est-a-dire, au tond, en suppo-
sant B = o ou A=: o, cette transformée peut être résolue par les
fonctions elliptiques. On voit donc combien il importe de recon-
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ÉQUATION DU CINQUIÈME DEGRÉ. Sqi
naître de quelle manière dépendent les inconnues 5 et ç; voici comme on y parvient.
Soit pour un instant
T = /C3 - k, + ^^^^U'i - h), on trouvera immédiatement
^X^—\/xq^ 2 s,
\/^i -Hv/rr4 = (v/5 + i)S,
et l'on en conclura s^ = sRST, s désignant un facteur numérique. De cette expression rationnelle par rapport aux diverses quantités /f/;, on déduira ensuite une autre racine quelconque Zy^ en
effectuant la substitution ] '^ [-Ce résultat montre qu'en faisant
kfi=^ Un-, le produit RST, qui devient alors une fonction rationnelle des racines ^0, \\i ^2? ^37 ^4? est symétrique par rapport à quatre d'entre elles, et peut s'exprimer rationnellement en £07 au moyen des coefficients de l'écjuation et de la racine carrée du discriminant.
Effectivement, la substitution ] '^' u par laquelle Zy se déduit
de ^0^ s'obtient comme on l'a vu dans le paragraphe précédent, en faisant sur les racines ? la permutation circulaire qui consiste à ajouter le nombre v aux indices. Cette propriété singulière et si remarquable du système des valeurs de la fonction cyclique désignée par ^^, se retrouverait encore dans le produit de ces trois facteurs où 0) est arbitraire, savoir
S ~ Ui -H ^4.+ W(l^^— Uq)^ T =: ?^3 U^ -4- W ( lli M4 ).
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Ainsi on reconnaît que les substitutions
donnent pour résultats
