R, —S, TV 1 R, —S, — T ) ( -T, R, —S
Mais, nous proposant d'approfondir cette nouvelle formule de transformation qui ramène à l'équation (2) l'équation générale du cinquième degré, nous supposerons toujours dans ce qui va suivre
Les recherches qai me restent à exposer dépendent principalement du choix de la fonction cyclique des racines ^o? ?m ^25 ?3? ?/o de l'équation générale
que l'on a précédemment désignée par u. C'est de là en effet que se déduira la formule de transformation z = RST, où la nouvelle inconnue est une fonction rationnelJe et entière de la racine ^0? ^t en prenant pour u un invariant par rapport aux racines, cette formule, comme celle dont j'ai d'abord fait usage, savoir
— ^?l(^^ 0"^ t^ Cp2(^, l)-f- (^ Cp3(^, l)-H (^ Cp4.(»^, l)
''""' fU^. I) '
conduira à une transformée dont les coefficients seront des invariants de la forme/==(a, P, y, y'? PS a^)(^, JK)^. Les deux substitutions se ramènent en effet au même type, et chaque expression u donne naissance à des covariants cubiques tels que cp^(^, j/)? c:)o(^, y), . . ., mais dont l'ordre est toujours un multiple de 4 ^^^gmenté de 3. J'ajouterai encore à ce rapprochement entre les deux méthodes de résolution de l'équation du cinquième degré, en déduisant de la seconde les conditions de réalité des racines. Sous ce nouveau point de vue, on verra qu'il ne sera plus nécessaire de
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recourir au principe de Jacobi, le caractère propre de la seconde méthode consistant en ce que Ton opère toujours directement sar les racines. C'est pourquoi nous aurons lieu d'employer^ dans tout ce qui va suivre, une transformée canonique de la forme proposée, différente de celle qui a été considérée au début de ces recherches. Nous la définirons par une substitution linéaire qui donne pour
résultat
et de manière qu'aux racines ^O) ?i ? ^2^ ?3? ^4 correspondent respectivement les quantités i, e, o, oo, r,, en posant
Soit donc 1 = a'^ ©(^05 ?M ^2? ^35 ^4) l'expression en Ç05 ii? ••• d'un invariant dont l'ordre soit un nombre pair quelconc[ue n ; en désignant le coefficient de ^3 dans © par 8(^0) ^ii ^25 ^35 ?4)? on aura pour forme canonique
Je vais appliquer ce résultat à l'invariant du dix-huitième ordre K, dont je rappellerai d'abord l'expression en fonction des racines.
Soient à cet effet
et convenons de représenter par Fy, Gy, Hy ce que deviennent respectivement ces cjuantités, en ajoutant aux indices des racines, toujours pris suivant le module 5, le nombre v; on sait qu'en faisant
Xy = Fy Gy Hy
on aura, abstraction faite d'un facteur numérique,
K=:ai8XXiX2X3X4.
Gela étant, désignons par #y, (Jy, ^y les formes canoniques des quinze facteurs Fy, Gy, Hy,* elles s'exprimeront en s et rj comme
394 OEUVRES
R ÎM IT E .
il sait :
5C = I — QtTj -+- STj
gi=:2£ri — £2 — Y]
jei = -£2+Tl,
()2= S — ^ -Hs-n^
:fe2= £ — ï] — £'r],
cf 4 = — £ -H 2 £7] —
5e4== — £-i-ïi2^
et, si l'on pose
la transformée canonique de l'invariant du dix-huitième ordre sera
Ces quantités F, G, H ont pour notre objet une grande importance, et tout à l'heare il sera nécessaire de connaître comment elle se permutent les unes dans les autres, lorsqu'on eflPectue la
substitution
• Or on trouve aisément ces résultats, savoir :
Relativement ,
Ga
Gi ■H.
H4 -Hi
-F3 G4 -Gi -F2 ).
a substitution ] '' [5 on obtiendrait
G — G.> — G4 - Gi — G3 ( '
et par conséquent les expressions suivantes,
a^FFiFaFsFi, aeHHiHsHgHi.
que l'on reconnaît immédiatement être des invariants, et qui sont aussi des fonctions cycliques des racines, se reproduiront l'une et
l'autre, changées de signe, lorsque l'on fera la substitution ] [•
Elles réunissent donc les conditions qui permettent de les employer à composer une fonction u contenant deux indéterminées; mais leur étude exige que l'on considère en même temps que F, G, H les quantités
En désignant par /\^, g\^ h^ ce qu'elles deviennent lorsque l'on ajoute V aux indices des racines, on trouve que la substitution
[ opère les changements que voici :
La substitution
gi
gi
g3 gk }
gk
gi A )
onne
; povir résultat
gi
gi.
gi
gi
— gl -
d'où l'on voit que, sauf certains changements de signe, les deux groupes de quinze quantités se permutent de la même manière, quand on effectue les mêmes permutations sur les racines de la proposée. Me bornant à remarquer en ce moment qu'en posant^ pour abréger.
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on a les relations suivantes :
j'arrive immédiatement à l'étude de nos fonctions cycliques.
Soient à cet efifet
Vr^aeHHiH^HaHi,
de sorte que l'on ait pour l'expression de u avec deux indéterminées
le système des six valeurs : ^^^, u^^ u^^ Wo, u^^ Ui^ s'obtiendra, d'après ce qui a été dit au paragraphe XIV, en efFectuant sur la première,
qui représente ?/^, la substitution ] J [? ce qui donnera ui en
prenant i = o, i, 2, 3, 4- On aura, d'après cela,
U,= aGFFiF2F3F4, V«,= aeHHiH.HsH^,
Uo^^-a^FHiG^GsH,, S ç,^ ^n\Q..,Y^Y-,Q.^,
Ui =-a^HFiH2G3G4, Vi ^a^GHiGsFaFi,
U2=-a6GHiF2H3G4, V^ = a^FGj H2G3F4,
U3::..— a^GGiHsFsH^, V3 = a^FF^ G2H3G4,
U4 =-a6HGiG2H3F4. V4 = a6GFiF2G3H4;
or ces expressions donnent lieu aux transformations remarquables que voici :
U^ = -+-aGF[/z3H2-i-(/i3|/^A)FH +( A^ {y^)2 /]^ Uo = 4- a6 F [/i3 H2 — ( A3 -i-/^/? ) FH -h ( /i2 +/^)2 /],
U, =.-aûH[^3G2-(^3^.y^/,)GH+(^2+//z)2/], U4--a6H[^3G2-|-(^3 H/^A)GH+(^2^//z)2Z],
U2=+a6G[/3F2-(/3-H/^/,)FG-(/2-H^/i)2n, U3=-a«G[/3F2+(/3+/^/,)FG+(/2 + ^/i)2/],
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el
V^--aŒ[/3F2-(/3+/^/t)FH-(/2+^/i)2Z],
V4 = -I- CCG G[A3H2 — (/l3 H-/^/l)GH (/z,2+/o-)2^]^
Y2= + aeF[^3G^4-(^^-i-/^-A)FG-(^2 + /A)n], V3- + a6F[^-3G^--(,^3+/^/,)FG-(^^- + /A)2/].
La démonstration est facile, comme on va voir; il suffit, en effet, d'établir la seule relation
U^-.a6F[-/^3H2 + (/i3+y^/^)FH+(/i^-h/é^)2Z], pour en déduire toutes les autres. Or elle revient à cette égalité
que l'on vérifie immédiatement en employant les expressions suivantes :
et observant que l'on a identiquement
Quant aux produits F^Fo, F3F4, je remarque qu'en multipliant le premier, par exemple, par a^/i/o? 01^ obtient un invariant par rapport aux racines dont la forme canonique est
(5 a)^ Y] (£ — Y] ) (22 — £2— iQ ) (s -f. 7] — EY] ).
Voici d'ailleurs la forme canonique de la quantité
savoir
de sorte qu'ayant
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398 OE U V R E s DE CHARLES H E R M I ï E .
on établit par l'égalité des formes canoniques celle des expressions proposées elles-mêmes. Après avoir démontré la relation
nous en déduirons comme il suit toutes les autres. Soit pour un instant
nous obtiendrons d'abord Uo, en effectuant sur les racines la substitution ] '' [ qui laisse l invariable et donnera
Maintenant, ajoutons aux indices les nombres i, 2, 3, 4? il
viendra, en désignant par /, , U^ /g, //, les valeurs correspondantes
de l,
Ui = 4>(Fi, - Hi, h,, h\ H-/i g,, h),
Effectuons ei^suite dans chacune de ces égalités la substitution j '' [5 on tirera les suivantes :
^Ui = *( G3, ¥,,f„f.! + g,h,,h),
U3='î>(— H4, — G4, g\, gl+lHfk; h),
- LU= *(- G2, F,, f„ fi H- g,h,, h).
Enfin, dans chacune d'elles ajoutons aux indices des racines le nombre nécessaire pour ramener dans la fonction <ï> les quantités F, G, H, et l'on obtiendra de cette manière
^U3 = *( G, F,f,f^ + gh,l),
\j, = 'i>{-U,—G,g;g^-^hf,l),
U, = *(-H, G,g,g^'-^hf,l), ^V,= <P{-G, ¥, f,p+gh,l)-
d'où l'on conclut, comme l'on voit, les résultats qui concernent les quantités U. A l'égard des quantités V, il suffira d'effectuer dans
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ÉQUATION DU CINQUIÈME DEGRE. Sgg
les égalités qal précèdent la substitution ] ^ U car U„, U,,, Ui,
U:;, U3, U/, deviennent par là — V„, Vo, Vo, V4, V,, V;,, de sorte que l'on aura
-V„==*(-H, F, -/, r-^gh, l), V„ = *(-H, -F, -f^f-^gh, l),
- Vi = *(- G, - H, - A, h"- +fg, l), V3=<ï>(-F, G, -ff, ff-^+hf,l), V2 = *(- F, - G, - g, g' + ¥, l),
V4 = <Î>( G,-iï, -~ h, h^^f g, l),
et toutes les relations données plus haut se trouvent ainsi démontrées.
La considération des c[uantités U et V ne suffit pas seule à l'objet que nous avons en vue, et aux résultats précédents il est nécessaire de joindre ceux que nous allons tirer des fonctions cycliques du second ordre envisagées par M. Brioschi dans le beau et important travail déjà cité : Sul metodo di Kronecker per la risoliizione délie equazioni di quiiito grado. Voici d'abord les valeurs de ces fonctions, ainsi que leurs formes canoniques en s et -^i :
/ u„=a2(^„-^0(^i-?'-)(?2-b)(b-e*)(?^-?o)=a3«^s(i-B)(i— r)), Uo=aH?o-^3)(b-l4)(U- ?.)(?!- ^2)(^.-?o) = '25aH(-0-e),
1,3 = aHl3-çi)(^i-?2)(^2- 10(^4- ^o)(?o-b) = 25tt'-£r,(7]-i),
,' t'.= 0(H?0-^2)(ç2-^0(U--^l)(?l-?3)(^3-eo)=25a=V)(-0-£),
fl»=a5(?o-^4)(^4-Ç2)(ç2-b)(l3-?.)(?.-^o)=25o2ri(i-£)(i-iq),
'U, = aHb-|i)(ei-^4)(U-^o)(ço-b)(^3-?2)='-i5ct2,(e-v,)(T)-i), /l,3 = aH?;,-?2)(?2-$o)($«-ei)(^-|4)(?4-?3) = 25rt2(e-7l)(i-e), \ iu = a2(?4-^3)(^3-^i)(ii-|2)(,^2-?o)(?o-a)=25rt'-e(i--^).
Cela posé, et au moyen des formes canoniques, on vérifiera immé-
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diatement les relations suivantes, dont on verra bientôt l'importance, savoir :
2U^-4-a^-/i(H-T- F), 2t),= -4-a2/(H — F), 2iio== — a2A(H— F), ■ 2Xio = — oc2/(H-f-F),
'2Ui==-ha2^-(G — H), 2t)i = -Ha2/z(G-{-H),
2114=— aV(G-+H), 2t)4=: — a2/i(G — H),
2U2 = — a\/'(F —G), 2ii2 = — a2^(F + G),
J'en déduirai d'abord l'expression des invariants du quatrième, du huitième et du douzième ordre, de la forme du cinquième degré, en fonction de F, G, H et/, g^ h. On trouve aisément, en effet,
uS+ 11^ + \\\ 4- \\\ -H u| -h u| = — 25(25 A -H 3 v/5D), xii-+- f ? -H î3î -H »i -i- iî| -H «I =- — 25 (25 A — 3 v/5D),
et, par conséquent,
d'où
a^[/2(2F2-|-G2-hH2)-t-^o-2(2G2-i-H2-|-F2)+/l2(5,H2+F2+G2)]=— 25ooA,
a4[/2(H2-G2)+^2(F2-H2)+/i2(G2— F2)] = 3oov/5T3.
Considérons ensuite la somme des produits trois à trois, que l'on peut écrire de cette manière :
(Uâ + U2) (u| + llf) (lll -f- Ul )+ U2 u2 («f -H U| -h lll ■+- «D
-i-U?u2(u2-i-u2+Ul + Ul) + uiu|(u2-|-u2-Hu2-}-u|,).
Elle est la même pour les deux groupes de quantités 11 et n, et a
pour valeur 4. 5*"^ ( — D^ — ADj. C'est donc un des invariants du
douzième ordre qui s'évanouissent comme D^, lorsque la forme proposée admet deux couples de racines doubles; je l'introduirai
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ÉQUATION DU CINQUIÈME DEGRÉ. qOl
en le désignant par (D, de sorte que l'on aura
+ T-/HF' — H2)2[^2(F2-i-G2)-i- An.G2-t-H2)]
-H~^HG2— F2)2[/?2(G2-HH2)-h/2(H2h-F2)] + ^/zHH2— G2)2[/2(H2+F2)-|-^2(F2|-G2)].
Mais ces diverses expressions ne sont pas sous leur forme définitive ; observant en effet que F, G, H n'y entrent que par leurs carrés, on pourra, au moyen des relations
auxquelles je joindrai
les faire uniquement dépendre des quatre quantités F-, g^ h et /. On trouvera ainsi
