A)2^.2A2FG+4(^A)(^|./,)2^^2/,2/F-V
^-(^8 + 4^'7^^-[2^6/^2--h6^5/i3 5^4A4^6é^3/io^I2^2/^6^4^/^7|/^8)/2F2 — 2gh(§'— h){g^-h 3^S/^i 8^4/i2}ji^:3/i3+ 8^'^/l4-H3^^ASH-/i5)/3,
et la valeur de (D montre bien eff'ectivement qu'il s'évanouit pour l—=.o et g ■= o ^ c'est-à-dire lorsque deux couples de racines deviennent égales entre elles.
Les équations (i) peuvent aussi servir à démontrer immédiate- H. — IL 26
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ment ces identités remarquables données par M. Brioschi, savoir :
Uo + Ui -}- U2 + 113 + lu = n^-^ 2 ti«,
11^— Xli -i- 112 -f- XI3 — IU= Uo-h 2t)o, Uoo— Uo— U2-f-ll3-hU4= Ui-f- 2l1i, «00 -^ «0— Ul — «3 -f- XU = «2 + 2t)2, «00 -H «0 + «1 — «2 — lU ^ «3 -H 2 t)3 , Xloo 1X0+ Wl-+- XI2— U3= «4+ 2t)4-
Mais nous les employons principalement à l'étude des nouvelles fonctions cycliques du sixième ordre formées en élevant xi et ti au cube, et que nous allons joindre à U et V.
xvni.
Je montrerai en premier lieu que ces deux groupes de quantités U et xt% de natures si différentes au premier abord, peuvent être compris dans la même forme algébrique. Pour cela, je remplace les carrés F^ et H^, dans J'équation
8uâ=a6/i3(F3+3F2H-h3FH2-i-H3), par H^ — 4 ^g' et F^ -{- 4 ^^? après avoir divisé par 4, il viendra ainsi :
J'opère de même dans la relation
U^= a6[A3FH2-i-(/i3 H/^A)F2H -^(h'^-^fg)HFl
ce qui donne
U^=a6[A3F3-t-(A^— /A— /2)AH3
+ (/^+2/3A-/2A2 6/A3 3/i^)/F — 4(/3A-f-2/^Vi'- — /?4)ZHJ.
On voit donc que les deux fonctions cycliques du sixième ordre sont comprises dans cette forme
cp(/, A)F3h- ^(/, A)H3 H cpi(/, h)lF -F ^,(f, h)lU,
cp et 'l) étant deux polynômes homogènes du troisième degré, îp< et ^^ du quatrième, et il y aurait lieu sans doute d'en faire l'étude
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ÉQUATION DU CINQUIEME DEGRE. ^o3
en recherchant l'expression la plus générale de ces polynômes qui permette d'obtenir ainsi des fonctions cycliques. Mais, pour ne pas trop m'étendre, je me borne aux quantités U etu% et, observant que l'expression
où fghl est proportionnel à la racine carrée du déterminant, est aussi du sixième ordre, j'envisagerai seulement les expressions de cette forme
7n\] -\- n\x^-^fghl{\L\\ 4- vu),
OLi m, /z, [Jv, V sont des constantes. Cela étant, je me suis arrêté à la combinaison suivante :
U — 2u3— /^/i^(6in-4ti) = '^,
d'où l'on tire
%3i= ^^[-^ fghG'' -\-(g — 'ih)p glG— liHYil, t^,^ a^[^ fghG'' -{g — Q.h) p glG ~ hHYi],
( ^^^a^^i-fghV'^ -{f-^g)h^^fl¥ - gHG-\.
En opérant ensuite dans "O la substitution ] ^ h j'en déduis ce
second système, savoir :
( <:)^^a^^[-fgh¥-^-^{f-^h)g^fl¥-hHRl
^),= y.^[-^fghm~{h-~^g)phm-gHGi
\^)3=a^[-f-/^-/zG3 — (^— 2/)A2^-ZG-H/^/F].
Maintenant je prendrai pour la fonction u cette expression où figurent quatre constantes qui tout à l'heure se réduiront à deux seulement, savoir :
u =pXD -\- p'^Ç -\~ 20L'*fghl(qn -H q'x)).
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C'est dans cette détermination que se trouve le point le plus difficile et le plus important de mon travail, et elle ne pourra être justifiée que par les résultats qui en sont les conséquences, et que je vais exposer.
Je reviens maintenant, pour en effectuer la détermination, aux quantités précédemment désignées par R, S, T, et qui figurent dans la formule de transformation propre à la méthode de M. Kronecker, savoir :
R — u^-\- Uo-^ ^{ ih + ^^3), S = Ml -H 1^4+ w(w^— ^0)5
T = ^3 — ï^2+ w(Mi W4).
v/5 — I On se rappelle qu'on a posé co = ; faisant d'après cela, pour
abréger.
i =: — 2^/iF2 - (/2 -H 2^/i) (^ — h) l -f- v/5/3 1,
lr--2/^•H2-(/^2-|-2/^•)(/-^)^^-v/5/^^^, on trouvera immédiatement
'O^H- ^90+^(02-1-^93) = H- wa6/fF, 10i+'O4+w(t)^— t)o) = — wa6/il)H,
't)3 — t)2 + W ('Oi — 04 ) = — 0) «6 ^5 G,
\th-^<)k -H ^{t\~ t\) = - a6 Al) H,
Soit en second lieu
ÉQUATION DU CINQUIEME DEGRÉ. 4o5
et l'on aura de même
2/^/zZ[u^-l-Uo-i- w(u24-U3)] = 4- a^/t'F, 2/^/iZ[ui + U4-j- w(u^— Uo)] = — a^Alj'H, ifghl[u^— U2-1- w(ui — XI4)] — — a^^^'G, 2/^/i/[xi^-H Do -h w(i)2 -h Xig)] = -H waV t' F, ifghl[\yi -4- t)4 -H co (t)^— Vo )] = — ^^^'^ ^^ 1)' H^ 2/^/z/[t)3 — t)2-t- aj(»i — t)4)] — — coa^^o'G.
Or il résulte des équations (i) que/? et p' n'entreront dans R, S, T que par la combinaison to/? -^ p\ et des relations (2) que q et q' se réuniront dans l'expression analogue q + ^q' ) posant, en conséquence,
on trouvera simplement
— S == a6AH(|il;-i-i]l/).
La formule de transformation z r=. RST peut donc être présentée comme le produit de ces deux facteurs, qui, l'un et l'autre, sont des Invariants, savoir
a6/^7iFGH et ai2(^f + qr)(^0 -h ilô') (l^^) + »lf)')-
Le premier, qu'on peut écrire ainsi
,^ , ,FGH ,^ /— -a^FGH
met immédiatement en évidence une fonction rationnelle de la racine ^0 ; mais il reste encore à donner explicitement au second cette même forme, et c'est ce que je vais faire, après avoir ajouté
cette remarque, facile à vérifier, que la substitution ] . [ n'a
d'autre effet que d'y changer le signe du radical \/5.
Gomme élément essentiel de l'importante transformation qu'il
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4o6 OEUVRES DE CPIARLES HERMITE.
s'agit d'opérer, j'introduirai l'expression suivante :
C'est un invariant, comme on le voit de suite, et de plus une fonction rationnelle de la racine ^o? car le facteur a3(/ — g){g — h)[h — /) représente l'invariant cubique de la forme du quatrième degré obtenu en divisant la proposée par ^ — ^o- Désignant donc par Aq^ Aj, )^27 >^^3? ^V4 les cinq déterminations qui correspondent ainsi aux racines ^o? ?m ^27 ^s? 5/o c>n aura ces relations remarquables, savoir :
Xo-Xj=4-2a4(^o-^i)H2G3H„
Xo- Xo = - 2aH^o - ?2)Ga FaF4,
Xo— X3==— aa^^o— ^3)FiF2G4,
Xo-X4 = + 2aH^o-^4)H,G2H3; X,-X3=: — 2aH^i--b)FG2F4, X2-X4--2aHb-?0FF.iG3,
X,X4 = -2aH?i-?4)GF2F3, X,-X3 = -l-2aHb-^3)GH.iH4,
X3-X4-H-2aH?3-^4)HGiH2, Xi-X2 = -H2a^(ti-b)HH3G4.
Pour les établir il suffît, par exemple, de démontrer celles-ci :
Xo-Xi = -i-2aH?o-^i)H2G3H4, Xo X, = -2aH^o-i2)GiF3F4,
les autres s'en déduisant par une simple permutation cyclique des racines; or elles se vérifient au moyen des formes canoniques en e et Tj des facteurs de l'invariant du dix-huitième ordre et des quantités X elles-mêmes, dont voici le Tableau complet :
Xo = (5a)Hl — £)(i — '0)(£-H'n)(£ — 2'r])(2£ — rj), Xi = (5 ay* £(^1 — £) (s — '/] ) (i-H '/] ) (i — 2'/] ) (ï) — 2),
X2 = (5a)^£'r)(£ -h Tj — 2)(£ — 2 7] -l-l)(rj — 2£ + l),
X4 = (5a)^7](l — 'fl)('r] — £)(H-£)([— 2£)(£ — 2).
Cela posé, et en se rappelant que l'on a désigné par K l'invariant du dix-huitième ordre, on tire des premières multipliées membre à membre
( Àq — Al) (Xo — \^)ÇkQ— X3) (Xo — ^4)— TT^vÛ^
ou bien
^,.. . 16ZK "^^«^-^^^FGH'
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en faisant, pour abréger,
n(X) = (X-Xo)(X~Xi)(x-X2)(X-X3)(x-X4),
et, par suite.
a2FvGvHv
pour les diverses valeurs de l'indice. C'est ce qui va permettre d'établir la proposition suivante :
Tout invariant donné sous forme de fonction entière des racines, symétrique par rapport à ^i, ?2? ?3? ^4 ^^ dont Le degré en io ^st multiple de 4, s^ exprime par
Lo+XoLi-t-XgL2-4-X3L3+XJL4,
les coefficients ï^\, L2, ... étant des fonctions entières des invariants fondamentaux A, B, G.
Soient en effet, pour un instant, ©o? ^\i • • • l^s cinq valeurs de cette fonction; j'observe que le polynôme du quatrième degré en \
(Xv) x-Xv
qui se réduit à 607 ^\-> • • •? po^ir \ = Xq, ).= )^i, . . ., peut, d'après la valeur de n^(Xv)7 s'écrire ainsi :
I ^-^ aSF^GvHvOv IT(X)
(Xlyj X Xv
Or a/v étant la dérivée du premier membre de l'équation proposée pour ^ = ^v? on sait par un théorème élémentaire que 16 KO s'exprimera en fonction entière des coefficients de cette équation.
D'ailleurs les quantités Sy et ^^—r^ — - sont des invariants, donc il
en est de même des coefficients des puissances de X. Or, d'après la supposition faite sur le degré de Sy^ leur ordre sera ^o, mod4; ainsi ils seront tous le produit de K par une fonction entière de A, B, G, l'invariant du dix-huitième ordre disparaissant ainsi comme facteur commun, et l'on en conclut relativement à 0 la proposition annoncée.
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Je vais l'appliquer à l'expression
ai2(pf-L.iif)(P0-{-q0')(P^-l-Ol)').
préalablement mise sous la forme
OÙ 6 et @^ restent invariables quand on fait la substitution ] [;
mais, avant de commencer le calcul, j'ajouterai quelques remarques sur le système des quantités "k,
Je considère à cet effet la combinaison suivante :
(t)^t)o -H Dl tl4— th ^3 ) — («00 «0 -H Ui «4-- «2II3 ) ;
en employant les relations (i) du paragraphe XVII, on trouvera qu'elle devient
i[/KF2-H2)+^2(G2 F^)+/.2(H^G2)j
OU encore
et, par suite, que sa valeur est Xq. En partant de là et effectuant sur les racines ^q, ^,, ... une permutation cyclique, on en conclut cet ensemble de relations, savoir :
>^o == (tîoo Vo -1- xîi iH — XÎ2 V3 ) — (Uoo «0 H- «1 W4 — 112 ns ),
>^l = (t1c«tJl-Htl2Î'0— f3M4)--(HocUl-Hll2Uo— U3U4), ^2 = (tloot)2+ tlsth — ll4fo)--(lt^«2-i- U3U1— II4U0), >^3 = (l1^tl3-i-tl4t)2--tlotîl) — (lîooU3-l-«4«2— «oUl), X4=r(xi^t)4-f-t1ot)3— tJitla) — (UooU4-l-UoU3— tlllh).
Or, en faisant usage de nouveau des relations (t), on voit que Ton pourra exprimer les seconds membres au moyen de F, G, H
et y, g^ h. Ainsi, nous avons déjà
et, en faisant, pour abréger,
/' = p -h gh, g =. ^2 H A/, K ^ li^ + /^,
on parviendra à ces expressions fort simples :
4Xi^a^<î>(F, G, -H), 4X2-a^*(F, G, H), 4X3-a^<î>(F, -G, H), 4X4=a^<ï>(-F, G, H).
On en tire ensuite les relations suivantes
X2— X3=a^G(/i'F+/'H), Xi — X4=:a'^G(/i'F— /H),
X2-Xi==a^H(/G-i-^-'F), X4-X3-a4H(/G-^-'F),
et par conséquent, en employant les expressions précédemment obtenues pour les différences des quantités X,
2(?4-b)FiG3 = ^-'.H4-/2'G, '2(^i-^3)G2F4-^'H-7i'G, a(b-b)HlH4-/^'F-h/'H, 'i(i4-?i)F2F3-/i'F-/'H,
2(^,-$0H3G4 = /'G + ^'F, 2(?4-b)GiH2=/'G-^'F.
Ces dernières équations multipliées entre elles conduisent à cette valeur de l'invariant du dix-huitième ordre, savoir :
— 64/^/^Krzzai8FGH(^'2H2--/i'2G2)(A'2F2-/'2H2)(/'2G2-^-'2F2).
Nous parviendrons à Fégard de la même quantité à un autre résultat en considérant les différences y^o — ^i ? ^^o — ^2? • • •? ^t employant l'équation
(Xo-XO(Xo-X2)(Xo-X3)(Xo-X4) =
a2FGH
on trouve, en effet, après quelques réductions faciles, qu'en faisant pour un instant
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4lO OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
on a
2(Xo-XO-a4 4>i(F, G, -H),
2(Xo-X2)=ai^.i(F, G, H), 2(Xo-X3)=a^*i(F, -G, H), 2(Xo-X4)-a'«-ï>,(-F, G, H).
On en conclut par conséquent, en multipliant membre à membre,
/K = ai8FGH[/(F2+ GH)-f- ^-'(02+ HF)-|- ;i'(H2- FG)] x[/(F2-GH)4-^-'(G2— HF)+A'(H2— FG)] X [/'(F^H- GH)-f- ^-'(G^- HF)4- A'(H24- FG)] x[/^(F2— GH)4-^-'(G2 4-HF)-HA'(H2-i-FG)].
Enfin, nous joindrons à ces expressions celle du carré de l'invariant du dix-huitième ordre, sous cette forme, savoir
Elle se tire de la relation K- = U^Uq, Ui U/, , U2U3, en employant les égalités
U^Uo-al2F2[/^/(/^-/)H2/^'2/][^•/^(/^-^o.)H2^-A'2/],
U,U3=ai^G2[/^-(/-^-)F^-/^^][//H/-/OF^ + /^^n,
qu'il est aisé de vérifier. J'indique ces résultats, bien que je n'aie pas à en faire usage plus tard, pour montrer dans la théorie algébrique des formes du cinquième degré le rôle des deux groupes de quantités F, G, H et/, g^ A, qui servent de base au calcul suivant.
Un premier point à établir avant de mettre sous forme d'un polynôme entier en \^ l'expression
est de montrer que la partie multipliée par le radical y/5, et qui seule, comme on l'a remarqué plus haat, change de signe par la
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substitution \ J U contient dans tons ses termes le facteur /g/z/.
Or en faisant, par exemple, f=:o^ et par suite g = — A, on
trouvera
pf -t- c\{' = iph^-{F-^ — 2hl)—2(\h^l,
Vô + m' = — ;) A^ ï{i + /5 ),
Vl) 4- til)' =: — \yhU{i — v/5) ;
d'où
et l'on verrait que le radical \/5 disparaît pareillement lorsque l'on suppose g z=:z o^ h = o et l = o. On peut donc écrire
où © et 6^ seront invariaJDles par la substitution l ^ U qui change
de signe le produit fghl^ et par suite symétriques par rapport aux quatre racines ^,, ^o, ^3, \,^. Ces quantités, qui sont des invariants, réunissent donc les conditions du théorème donné au paragraphe XX, et, comme elles sont du douzième et du huitième ordre, on est assuré de pouvoir les mettre sous la forme de polynômes en Ao du troisième et du second degré. Faisant ainsi
(i) © H-a^/^7iZ0'= Lq-H AoLi-HX^Lâ-hX^L^,
les coefficients Lq, L,, Lo, L3 seront respectivement d'ordre 12, 8, 4 et o, et s'exprimeront au moyen des invariants fondamentaux et de la racine carrée du discriminant par ces formules, où je pose
afin de simplifier quelques expressions, savoir :
L3 = et,
L2 = BX -T- lit y/ A,
Li = coA^^-f- c'a + hX/a,
Lo ^^X'^-^^' ^b.-^ ^" (D -H p .^1,2 y/Â -f- p' /Â^,
a, B, ... étant des constantes numériques qu'il s'agit maintenant de déterminer.
A cet effet, j'observe que le premier membre de l'équation (i)
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4l2 OEUVRES DE CHARLES II ERMITE.
peut être mis soas la forme d'une fonction homogène de F- et /, dont les coefficients contiendront seulement g et A, car il suffira d'y remplacer G- et H^ par F^ — ^Ih^ ¥--{- \lg^ puis d'éliminer/ au moyen de la relation /+ g' -H A = o. D'ailleurs le second membre est immédiatement de cette même forme, en vertu des expressions des invariants fondamentaux obtenus au paragraphe XVII, et de Ja valeur
\=^J.Kf~ê-){ê--h){h-f)l=~c,^^\^g--^h){g-~h){9Ji-^g)L
Cela étant, je dis que dans les deux membres les coefficients des diverses puissances de F^ sont identiquement les mêmes ; car autrement on aurait entre F- et / une équation homogène qui
pourrait donner -y- exprimé en g et A, c'est-à-dire une fonction
de la racine ^o? et par conséquent cette racine elle-même exprimée au moyen des quatre autres, puisque ^' et h ne contiennent pas ^o« On voit donc qu'il suffira de calculer ces coefficients des diverses puissances de F pour arriver par l'identification aux valeurs des constantes a^ 6, .... En supposant h = i^ et n'ayant pas égard aux puissances de g supérieures à la seconde, ce qui rend les opérations faciles, on pourra ainsi les obtenir toutes, à l'exception de p^, facteur d'un polynôme en g commençant parle terme ^'^. Mais, afin de simplifier encore, je vais, en considérant le cas particulier de f= o, établir a priori que l'on a c = o, c» = o. Cette supposition donne, en effet,
X =2a4/i2(F2— 3A/), A == o, CD =al2/^8/2(F2 47^/),
Xo = — 2a^/23/,
et tout à l'heure on a obtenu
L'identité qui en résulte, savoir :
— 8aAoZ«— 86/i8/2(F2 3/^/)
— 8c/i7/(F2— 3/i/)2 8;)A6(F2— 3AZ)3-f-D"A8Z2(F2 4/i/)
conduit immédiatement aux résultats annoncés.
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ÉQUATION DU CINQUIÈME DEGRÉ. /^l3
Sans entrer maintenant dans tous les détails du calcul, j'en rapporterai les éléments principaux, qui seront d'abord les expressions suivantes, où l'on n'a gardé que la première puissance et le carré de g^ en supposant, pour simplifier, a = i , /z = i , / ■== i , savoir :
Xg,l,^a(4-M6^•^-I3^•2)F2-H8-^20^-l4^■^ juVÂ= — (4^-H-i2^-2)F^-i-(8^-i-i2^-2)F2-4^,
En second lieu, si l'on fait
(Vf -4- i\V)(Vii-^i\B')(V^)-^^W)= LFG-hMF^-h NF2-1- P, on aura
M =-8î)3[-Hv/5^--(4- 3/5)^-2],
N =—8^)3 i6;i3(2 — v/5)^- — 8[(i i — 3 /ô)^^-^ 8 ^2^^ ^ |Ui2]^-2^ P == l6p3__8p2^^4 4[l4p3(g^5y^5)p•2l^^2v/5pl^2]^• ^-8[(II+4v^);1^^-(2— iov/5)|)2i^(5 4/5)pil2|.i^3]^2„
Cela posé, on obtient sans peine :
ce = 2|l3|)2i|^ lit — /5(— 2|l3 4.. 5p2q 2piV2),
G = O, II' — o,
c' = 46 \i^~iDf-i] — i2 \hf -H 4 ilS p = 2 \/5 p3 .
;)' = — 4v^+32p2q — 8pii2,
La constante p^ reste donc seule à déterminer; je considérerai pour l'obtenir Je cas particulier de ^' = i , A = i , ce qui donnera,,
4l4 OEUVRES DE CHARLES HEIUIITE.
en supposant toujours a = t , l=^i^
(D =4F6h-4[F2, Ào == o;
on aura d'ailleurs
(;)f + i\i'){n + Alô') (;ii) 4- ql)') = [— '2p(F2-H 4 Z^) + 211 /^ ]
et le terme indépendant de F- suffit pour donner immédiatement
p' — /o (— 44 }i^ + 1 1 5 p2 1| 42 |iq2 -H 4 q3 j.
Les éléments de la nouvelle formule de transformation de l'équadon du cinquième degré, à laquelle conduit la méthode de résolution de M. Kronecker, sont donc maintenant complètement -obtenus, et l'on a mis en évidence le mode d'expression de cette formule comme fonction rationnelle et entière de la racine ^0? ce qui est un des résultats auxquels je désirais surtout parvenir. On observera que les valeurs de a, G, ... prennent une forme un peu plus simple pai: le changement de q en q 4- 2^; on trouve alors en effet :
y =:|-28;i3— 8pc|2, p' =v/5(5op3-5p2i^i8|)i^2|^i^3)^
^" = — 8|iS
'd'où l'on conclut
[Kt*+ 2f')-4^ qf] [p(5 -h 29')-^ m'] [(Kl) + 2l/)-f- lll)']
= vK — 8 ® -^ 28 c/l) A -h 2 X'^ v/5Â 4- 5o /5^) — p2 q (Xo + v/5Â)'^ — 2;ui2 (XJ v/5Â 6X0 A H- 4 ol> A -f- 9 v/5Â^) + 4 ^V'^ (>^o ^ + Z^^),
et c'est en multipliant ce résultat par a^/^'AFGH que s'obtient en résumé la valeur de z. Or on va voir qu'on est ainsi ramené au type
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ÉQUATION DU CINQUIEiMI^ DEGRE.
de substitution donné par la formule
que j'ai employée au commencement de mon travail.
XXIIT.
Après avoir été précédemment conduit à exprimer en fonction des racines les invariants des formes du cinquième degré, nous allons d'une manière analogue définir quatre covariants cubiques d'ordre 3, ^, ii, i5 qui s'offrent d'eux-mêmes dans la nouvelle formule de transformation à laquelle nous venons de parvenir. N'ayant d'autre buL en ce moment que de rattacher à un point de vue commun les deux méthodes de résolution que j'ai étudiées, je ne chercherai pas à étendre au delà de mon objet des considérations qu'il serait peut-être intéressant de généraliser, et je me bornerai aux résultats suivants.
J'observe que, l'expression a^FGH)/^^ étant symétrique par rapport à ?i, ^2? ?a, k.'n o^ pourra écrire
a3 FGHXJ =. a N ^J- + A^§ -H 3 B ^2 | 3 B'^o -i- A',
les coefficients N, A, . . . étant des fonctions entières de ceux de la forme proposée /(^, j^) = (a, [3, y, y^, [^', a') (^, y)^ C'est ce que l'on reconnaît par l'égalité
aN^^-l-A^3|3B^2 4.3B'^-
qui a lieu quel que soit ^, et d'où l'on tire pour le coefficient de ^^' cette valeur
2a^ Fy Gy Hy
ou, plus simplement,
OL'^ Fy Gy Hy Ay
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4l6 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
Or on a déjà remarqué, paragraphe XX, que la quantité ^-j-^ — -
est, par rapport aux racines, un invariant comme \. Ce coefficient N se distingue donc de tous les autres en ce qu'il est un invariant dont l'ordre est 4^ + 2, de sorte qu'il s'évanouit en supposant n inférieur à 4- Cela étant, je dis que
est un covariant de la forme du cinquième degré, et je l'établirai en cherchant ce que devient l'égalité
appliquée à la transformée F(X, Y)=:/(mX + m'Y^ nlL-^- n'Y). Faisant à cet effet S = mii' — m' ?i^ et remarquant que les racines
de l'équation F(X, t)=: o sont les quantités — ^^- — r-? on trouve que le premier membre devient
a^FGHX!! .,. ^
Si l'on désigne par %^ B, ... les valeurs de A, B, . . ., lorsque l'on y remplace a, p, ... par les coefficients de la transformée F(X, Y), on aura
et, par conséquent,
A^3 + 3B^g+3B'^o + A' ^,^„^, {m — n^oY^
Cette égalité, ayant lieu en substituant à ^o l'une quelconque des racines, est identique par rapport à cette quantité, et l'on voit facilement qu'en faisant
X = 77iX -h m'Y^ y = jiX -h n'Y,
on en conclut
(A^3|3B^2j-i-3B'^jK2|.A>3)5io/.+6:^;^X3-H3l3X2YH-3^'XY2H-a'Y3,
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ÉQUATION nu CINQUIÈME DEGRÉ. 4l?
de sorte qu'aux valeurs /z z= o, i, 2, 3 correspondent bien, comme on l'a annoncé, quatre covariants cubiques d'ordre 3, '^, 11, i5. Cela posé, et en les désignant pour un instant par ^q(x^ y).
cp, (^', y), ^2(-^, y)j ?3(<^, Jk), je reviens à la formule
où l'on a, d'après les valeurs de a, l^, . . .,
Lo= <vl)A(28;i3— 8;uf )— 8(Dp3
■4-/5 A[2c;l)2|i3 -+- A(5o;)3 5|,2q __ ,8pq-2^ 4»1^)]-
Or, en multipliant et divisant par oLl = f^(^o, i), elle prend cette forme
et c'est le type de substitution que je voulais mettre en évidence, les indéterminées ^, ^, (^, c^p étant remplacées par Lq, Li, L2, L3. De plus, on reconnaît que les covariants cpo(^,.7), cp^(^,y) sont précisément ceux du troisième et du septième ordre dont j'ai fait usage, et la relation
donne même une démonstration nouvelle de ce fait, établi au paragraphe Vil, qu'on a (f]{^o, i)=o lorsque ^0 est une racine double (^). Mais je remarque surtout cette conséquence que l'équation transformée en z étant (§ XII)
