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est ce qu'on appelle V invariant de ce polynôme. Cette dénomination, proposée par M. Sylvester, célèbre géomètre anglais, se trouve justifiée par le théorème suivant :
Soit
Jl,X2+2'DbXY-i-eY2
la transformée du polynôme proposé par la substitution
^ = aX-|-a'Y, r = PX+[3'Y;
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je dis qv!on aura
llb
^jb
d est-à-dire que V in\>ariant se reproduira dans toute transformée^ multiplié par le carré du déterminant de la substitution.
En effet, effectuons la substitution considérée dans les deux membres de l'équation identique
et posons, pour abréger,
a(aX-f-a'Y)-i-è(j3X-H p'Y) = /?X-H(7 Y, a'(aX-i-a'Y)+6'(!3X-i-!3'Y)=:/?'X + ^'Y,
on en déduira
Jl.X2^-2D\)XY-^-eY2 = (;;X^-^Y)2 4-(/X-i-^'Y)^ et, par suite,
Mais, d'après le théorème sur la multiplication des déterminants, on a
et il en résulte immédiatement, après avoir élevé les deux membres au carré, la relation qu'il s'agissait d'établir
Jv9
lil,
Avant d'aller plus loin, donnons encore l'énoncé des théorèmes analogues pour les polynômes à trois indéterminées, afin de rendre plus facile la recherche des énoncés les plus généraux.
Soit, à cet effet,
ce qu'on nommera l'invariant, sera le déterminant relatif aux trois
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THEORIE DES POLYNOMES HOMOGENES.
fonctions linéaires
c'est-à-clire
f^— B'x -h A'jKH- B ^, /;'= B'^-4-BjK -1- A"^;
AA'A'^+aBB'B'^— AB2-A'B'2— A''B'^2
et l'on aura le théorème suivant :
Soit
la transformée déduite de f par la substitution
^ = aX-t-a'Y-h a'^Z, J^=:PX + (^'Y+P'^Z, ^=: Y^ + T'Y-l-f Z,
V invariant de cette transformée sera égal à V invariant de /, multiplié par le carré du déterminant de la substitution.
Ainsi on aura
Les applications que nous ferons plus tard de ces théorèmes en montreront toute l'importance, mais dès à présent nous allons en faire voir l'usage, en nous proposant de calculer l'invariant de cette forme particulière
Au lieu d'appliquer la formule (2), après avoir développé le carré de olx -\- i^jK + y^, pour mettre en évidence les coefficients
MV
(Âd
^iV
olb
cJv9
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des carrés et des rectangles des variables, on fera
ax ~\~ ^y -h Y^; = Z ;
d'où résultera cette conséquence, que le poljnome proposé est la transformée de
(3) AX-2+-2BXY-i-GY2+Z^
par la substitution précédente, dont le déterminant se réduil, comme on le reconnaît aisément, à y.
L'invariant cherché sera donc celui du polynôme (3) multiplié par y^, c'est-à-dire, en appliquant la formule (2), égal à
La notion d'invariant bien comprise, passons à celle du polynôme adjoint, qu'il importe également d'établir.
Pour cela, nous considérerons encore le cas le plus simple des polynômes à deux indéterminées, /= A^^ + 2B^y + Cjk^, et nous rappellerons en premier lieu le théorème bien connu qui est exprimé par cette relation
Cela posé, cherchons ce que devient /, quand on y remplace x et y par les indéterminées çCq et y^^ liées aux précédentes par les relations
En nommant cp Je résultat cherché, qui sera un nouveau polynôme du second degré, aux indéterminées Xq et yo^ on aura ces trois équations,
" Jx — ^Ol
entre lesquelles il s'agit d'éliminer or ely. Pour cela, multiplions membre à membre successivement la première et la troisième, la
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seconde et la troisième, il viendra ainsi
-?/i=^o(^^o+7ro),
équations homogènes et du premier degré en 'x et y.
Le résultat de l'élimination de ces deux indéterminées s'obtiendra donc en égalant à zéro le déterminant relatif aux deux fonctions linéaires
-?/>• — ro(^^o + .rro);
de sorte que '^ sera déterminé par cette équation :
cpA— ^2 cpB — a^ojKo
cpB — :rojKo ?^— ro
Dans un instant il sera prouvé que ce déterminant contient le facteur cû. Ainsi l'on arrive bien, après la suppression de ce facteur, à une équation linéaire; mais ce qu'il importe tout d'abord de bien saisir, ce sont les propriétés du polynôme en x^ etjKo^ déterminé par l'équation que nous venons d'obtenir.
Observons à cet effet qu'en posant
~^r= ^?/;— 7o(^'^o+rro)-
Le déterminant ci-dessus n'est donc autre chose que l'invariant de ^, considéré comme fonction de x eiy. D'après cela, faisons dans ce polynôme la substitution quelconque
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et supposons alors que le polynôme /' devienne
il en résultera pour le polynôme ^ cette nouvelle forme
Cela posé, formons l'invariant de ^ et égalons-le à zéro; on reproduira ainsi l'équation dont dépend la quantité cp, car ces deux invariants sont égaux, à un facteur près ; de là résulte ce théorème :
Le polynôme cp reste inçariable^ si l'on y remplace les coefficients A, B, G, qui y entrent^ respectivement par JU, ilb, G, pourvu qu\iu lieu des indéterminées x^^ y^ on mette en même temps
a^o+P^o et a'a^o-+- P'jo-
R.e venons maintenant au déterminant
cpA — ^5 cpB — ^ojô
pour établir, comme nous l'avons annoncé, qu'il contient cp en facteur. A cet effet, considérons le polynôme suivant à trois indéterminées
qu'on trouvera aisément, en substituant la valeur de t];, se réduire à
)( — cp ( A^'2 H- 2Bccy ^ Gy^ ) -j- ,3 cp ( 2 ccxq h- 2 yy^ + 2 cp ).
Il résulte d'une remarque faite plus haut, que l'invariant de ce polynôme v, c'est-à-dire le déterminant relatif au système des trois fonctions linéaires
est égal au produit de c:»'^ multiplié par l'invariant du polynôme ii. En développant les expressions des trois dérivées, on parvient ainsi à la relation
cpA cpB cpi^Q CpB cpG cp/o
cpA — ^2 cpB — a7o7o
cpB — ^o7o ?^—yl
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THEORIE DES POLYNOMES HOMOGENES.
et, par suite, à celle-ci, après avoir divisé par cp^, A B ^0
^0 ro ?
X cp —
cpA — ^2 cpB — :ro7o cpB — ^ojo ?G-,/?
Cette transformation de déterminants nous montre que le terme indépendant de o, dans l'équation
<d\ — xI cpB— ;ro7o
cpB — ^o7o ?G — r?
doit disparaître de lui-même. Gela posé, soit pour un instant
cette équation pourra s écrire
0(cpA — ^2^ cpB— ^ojo, ?G— 72)=0j et l'on tirera, en développant,
cp20(A, B, G)-cp|6i^|-f-eUoro+Qc7lï-o; d'où enfin
C'est là le résultat définitif auquel nous voulions parvenir; et le polynôme en Xq et y^ qui se présente comme numérateur de cp est ce que nous nommerons avec Gauss le polynôme adjoint de Ax'^-h 2B^/ + GjK^- Maintenant il ne nous reste plus, pour terminer ce sujet, qu'à donner quelques indications propres à faciliter aux élèves l'extension au cas général des raisonnements et des calculs précédents.
Soit, par exemple, le polynôme à trois indéterminées
/= A^2| A'72 4 A''^2| 2Byz-^ iW zx -f- iB"xy. En prenant pour point de départ la relation
il s'agira de trouver ce qu'il devient en substituant k x^ y^ z les H. — II. 29
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45o OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
indéterminées nouvelles
I ., ^ -pi -^ ^ -f'
Nommons cp le résultat cherché; on sera conduit aux quatre équations
desquelles on déduira d'abord
:?/r=ro(^-^o + r7o-H2^u).
On observera ensuite qu'en posant elles deviennent simplement
et l'on en conclura que l'équation pour déterminer cp s'obtiendra en égalant à zéro l'invariant du polynôme '];. D'ailleurs cet inva-
cpA — ^5 cpB"— ^o7o ?B' — ^0^0
^W—Xç^y ^M — yl cpB — jo^o
cpB'— 5-0^0 ?B — jKo^o ^^"—^0
sera susceptible de la transformation exprimée par l' équation suivante
A B'^ B' xo
^" A' B jKo
^0 Jo -^0 cp
X cp^
cpA— ^2 cpB'^— ^ojKo cpB' — ^0-^0
cpB''— ^oro ?-A'— 72 . cpB — jo^o cpB' — ^0^0 ^B — jKo^o ?A'' — ^2
THEORIE DES POLYNOMES HOMOGENES.
à laquelle on parviendra en cherchant l'invariant du polynôme à quatre indéterminées
Les choses ainsi préparées, en posant
on donnera à Féquation en '^ la forme suivante
'6(cpA — xl, cpA'— jK?, ^A-'—zl, cpB — jKo-So, cpB'— ^o^o^ 'f B'' -^ a^o/o ) = o .
Or, dans cette équation, les termes o^ et cp^ existeront seuls, et, après avoir développé, on en tirera
Cela posé, le numérateur de cette expression sera le polynôme udjoint dey, et o lui-même donnera lieu au théorème suivant :
Supposons qu^ en faisant la, substitution
f se change en
F = XX2 -+- X' Y^H- ..VZ2-f- 2i(i) YZ -I- 2 111/ ZX -\- 21)1/ X Y,
<D restera invariable, si V on y remplace les coefficients de f par •ceux de F, et qu'on y mette en même temps, au lieu de ^o? JKo? ^0, les fonctions linéaires
En terminant, nous remarquerons que la forme explicite du polynôme adjoint de
est
Cxl~iBxQyQ-+- Ajr|,
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et que la forme explicite du poljnome adjoint de
A^'-^H- A'jr^-f- A'^^2| 2Byz -h iW zx -H iW xy est
(A'A'^— B2)^2^(A''A- B'2)j2,(AA'— B''2)^2
+ 2(B'B'^— AB)jKo-2o-+-2(B'^B— A'B')2o:27o-n-2(BB'— A"B")^oro.
Elles nous seront utiles dans les questions suivantes.
