III. — Applications à la géométrie analytique
La recherche des axes principaux dans les courbes du second degré dépend de ce problème.
Etant proposé le polynôme
/= AX2-H2BXY-f-GY2, déterminer les coefficients de la substitution
et les quantités s, s^, de manière qu^on ait identiquement
(2) AX2+2BXY-i- GY2=z £^2|£'^2
et
(3) X2-f- Y2=ip2 4^2.
Il s'agit, comme on voit, de trouver les valeurs de six quantités inconnues, s et e^ d'une part, et de l'autre les coefficients de la substitution; et pour cela on a, en effet, six équations qui résultent de l'identification des termes semblables dans les relations (2) et (3). Mais nous éviterons comme il suit la considération de ce système compliqué d'équations.
Désignons par \ une quantité indéterminée ; on aura
Cela fait, cherchons l'invariant du second membre.
L'invariant du poljnome (s — \) x'^ -\- {e' — \) y^ ^ en y considérant X et y comme les indéterminées indépendantes, sera
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(e — ^) (s^ — )^) ; donc, si l'on fait la substitution (i), l'invariant du polynôme transformé sera
Maintenant, si on l'égale à celui du premier membre, on arrivera à la relation
Or^ il en résulte immédiatement que les deux quantités s et s' sont les racines de l'équation du second degré en \
Une autre conséquence à remarquer, c'est que, le coefficient de X^ dans le premier membre étant l'unité, on a
Pour achever la solution, en regardant s et £^ comme connus, on fera successivement, dans l'équation (4), X = s, X = s^, et l'on en déduira les valeurs de x- et j^-, de sorte que les fonctions linéaires aX + a^Y, pX+P^Y peuvent dès lors être regardées comme complètement déterminées.
Passons à la question analogue pour les surfaces du second ordre.
Le problème est alors :
Etant proposé un polynôme à trois indéterminées
/= AX2-^- A'Y-^H- A'^Z2-i- 2BYZ -H 2B'^ZX -f- ^B'^XY,
déterminer les coefficients de la substitution
œ = aX-f-a'YH-a'^Z, y=pX + (B'Y+p'^Z, ^ = YX-i-f Yh-y'^Z,
et les quantités s, z\ e"^ de manière qii^ on ait identiquement
Soit, comme précédemment, \ une indéterminée, et déduisons de ces deux relations la suivante
Nous commencerons encore par chercher l'invariant du second membre. Observons, à cet effet, qu'en considérant x^ jk, z comme les indéterminées indépendantes, l'invariant du polynôme
est simplement
d'où il résulte qu'en faisant la substitution (5), l'invariant du
polynôme transformé sera
Maintenant, si on l'égale à celui du premier membre, on arrivera à la relation
Ainsi, les quantités s, s^, ^' sont les racines de l'équation du troisième degré en k
-H2BB'B^'-(A — X)B2~(A'— X)B'2 — (A"— X)B''2=o,
et l'on obtient encore, comme précédemment, cette conséquence
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que le carré du déterminant
a pour valeur l'unité^ de sorte que l'invariant du second membre de la relation (6) se réduit à
Il nous reste à déterminer les coefficients de la substitution (5), c'est à quoi nous parviendrons en égalant les polynômes adjoints des deux membres de la relation (6). Mais nous avons d'abord une observation importante à faire. De l'identité
résultent les six relations suivantes
a"2 i j3"2^Y'2:^i^ aa' -1-^(3' 4- fy' = o.
Or il s'ensuit, qu'étant proposé le système d'équations
on en tire
aw-i-pp-f-YW= a7o, a' u -^ ^' V -\- ^(' w = Jo, a" u -+- P" f -+- y" w = Zq,
w = y^o-ht'jKu-h Y^^o-
Substituons, en effet, ces valeurs dans les équations proposées, on les trouvera immédiatement identiques, en vertu des relations (7). En nous bornant, par exemple^ à faire la substitution dans la première équation
on trouvera pour le premier membre
OU bien
ce qui se réduit bien à j^q.
Cette remarque faite, passons à la recherche du polynôme adjoint du second membre de la relation (6). Pour cela nous aurons à effectuer la substitution suivante
a" (^e —\)cc -i- ^" {s' —Xjy -i- f {s" ~ \)z = z,,
dont les premiers membres sont les moitiés des dérivées du polynôme (e — \)x^-\'{z' — \)y'^-^{e'^ — )^) 5^ prises par rapport aux indéterminées indépendantes X, Y, Z. Et, comme nous avons remarqué que l'invariant de ce polynôme est (s — ^0(^^ — ^)(^'^ — '^)-) en nommant cp le résultat de la substitution précédente, le polynôme adjoint sera, d'après la définition même, ég^al à
cp x(£ — X)(£'— À)(£"-X).
Or, en représentant pour un instant par u^ ^, w les quantités (e — \)x^ (s^ — ^)jK7 {^" — ^0^5 1^^ équations (9) coïncideront avec les équations (8), ainsi, d'après la résolution qui a été effectuée de ces dernières, nous trouverons
w = (£ — \) X = aa^o -H a'jKo -t- «"-^o?
w =(£"— X) z = Y.^o-HT>o+ y"^o.
Il en résulte pour la transformée en ^0? JK05 ^0 du polynôme
l'expression
et l'on voit qu'en mettant X, Y, Z au lieu de cCq^ y^, Zq^ on pourra
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THÉORIE DES POLYNOMES HOMOGENES. 4^7
écrire simplement
d'où suit, pour le polynôme adjoint du second membre de l'équation (6), l'expression
Cela posé, faisons successivement
dans le polynôme adjoint du premier membre de l'équation (6), savoir / — ).(X- -h Y^ -|- Z^), on trouvera qu'il se réduit :
Dans le premier cas à (s^ — ^) (^'^ — ^)^^7 Dans le deuxième cas à (e^^ — e^) (s — ^^)y^') Dans le troisième cas à (s — ^'^){^' — ^'0-^^?
de sorte que les carrés des trois fonctions linéaires qui nous restaient à déterminer étant connus par les seules quantités £, £^, s'^, ces fonctions elles-mêmes et les coefficients de la substitution (5) sont complètement déterminés.
L'analyse que nous venons d'employer s'étend d'elle-même au cas d'un polynôme à un nombre quelconque d'indéterminées, et nous pensons n'avoir besoin de rien ajouter pour que les élèves puissent faire eux-mêmes cette généralisation. Mais il nous reste à démontrer que toutes les quantités dont nous avons donné la détermination ont des valeurs toujours réelles.
Rien n'est plus facile pour le cas des polynômes à deux indéterminées
/= AX2+'iBXY + GY2.
En effet, nous avons trouvé sous la forme suivante l'équation
en X, savoir
et en supposant, pour fixer les idées, A >> C, on voit immédiate-
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458 OEUVRES DE CHARLES HERMITIi].
ment qu'en substituant dans le premier membre les valeurs
H- co, A, G, —00,
il prendra les signes
L'équation proposée a donc deux racines réelles : l'une plus grande que A, l'autre plus petite que C, et nous pourrons supposer que la première soit e et la seconde e . Cela posé, les valeurs obtenues pour les carrés œ'^ et y^ donnent, en y faisant, par exemple, Y rr= o, les équations suivantes
et, d'après ce que nous venons de dire, on reconnaît qu'elles sont positives; donc a et [3 sont réels, et il en serait cle même pour ol' et !3^
Abordons maintenant la même question dans le cas plus difficile des polynômes à trois variables.
Afin d'indiquer complètement tout ce qu'il est nécessaire de connaître pour étendre au cas général la méthode que nous allons suivre, nous démontrerons d'abord ce lemme, qui est important en lui-même :
Lorsque V invariant d\in polynôme homogène du second degré se réduit à zéro, le polynôme adjoint est un carré parfait.
Considérons, par exemple, les polynômes à trois variables
f^ AX2 + A' Y2 -f- A"Z2 -^ 2 B YZ + 2 B'ZX + 2 B"XY,
et prenons, mais sans supposer les coefficients réels, la substitution que nous avons précédemment déterminée :
^ = aX -+-a'YH-a"Z, ^=.PX + P'Y+P"Z, ^ = YX + T'^ + f 2:,
de telle sorte qu'on ait
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Nous avons trouvé, quelle que soit l'indéterminée X, le polynôme adjoint de
égal à
donc, supposant X = o et désignant par F le polynôme adjoint de /, on voit que la substitution ci-dessus donnera en même temps
Cela posé, si l'invariant de / est nul, l'équation qui a pour
sera vérifiée pour X = o, de sorte que l'une de ses racines s'évanouira. Or on voit qu'alors des trois carrés dont se compose F un seul subsistera, ce qui démontre la proposition annoncée. Observons que dans le cas du polynôme à deux variables
f= A^2| 2Ba77 H- Gy^,
cette proposition serait évidente, car le polynôme adjoint étant alors A.y^ — '^'Bccy -}- Cx^ est un carré parfait en même temps que/, lorsque l'invariant A G — B- est nul. Ce seul cas nous suffira même pour ce qui va suivre, comme on va voir.
Mettons l'équation en X, en employant la valeur développée du déterminant sous cette forme
[(A — X)B-^— 2B"BB'-f-(A'— X)B'2]z:z.o,
et considérons l'équation du second degré
(il) (A — X)(A'— X)- B''2::^o.
On a établi tout à l'heure la réalité de ses racines, et l'on a démontré qu'en supposant, par exemple, A > A' l'une d'elles 'r\ était plus grande que A, et l'autre y]^ plus petite que A^ Cela posé,
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substituons dans le premier membre de l'équation les valeurs
les signes correspondants aux valeurs extrêmes seront — oo et -|-oo, et nous allons prouver que pour X = r\ il est positif, et pour à = t/, négatif. Dans ces deux cas, en effet, la première partie de l'équation (lo) s'évanouit, et la seconde, en y considérant, pour un instant, B et B^ comme deux indéterminées, représente un polynôme à deux variables, dontl'invariant égal à (A — ^)(A-^ — '^) — B'^^ s'évanouit par hypothèse. Quels que soient donc B et B', ce polynôme sera du signe de son premier terme; mais nous savons que l'on a
les résultats des substitutions ont donc les signes que nous avons annoncés. Il s'ensuit que l'équation en X a ses trois racines réelles; la plus grande, s, supérieure à '/^; la moyenne, s', comprise entre Tj et r/; la plus petite, s'^, moindre que ^i' . Et en même temps on obtient cette conséquence que les racines de l'équation (i i) étant comprises, l'une entre s et s', l'autre entre s et s'^, le polynôme
possède exactement la propriété caractéristique de la fonction dérivée du premier membre de l'équation (9). On remarquera aussi c[u'il suit du mode de détermination précédemment obtenu pour les coefficients a, p, y, . . ., qu'on a ces valeurs
Or, d'après ce qu'on vient de dire, et en ayant égard à l'ordre de grandeur des quantités s, e^, e'^, on reconnaît immédiatement que ces valeurs sont positives. Maintenant il suffit d'avoir prouvé que ol'^ est réel, par exemple, pour en conclure que ol' et a le sont aussi. Comparant, en effet, les termes en YZ et ZX dans le développement de (aX -f- a^Y + ad^Z)^ et du polynôme adjoint de
THEORIE DES POLYNOMES HOMOGENES. 4b I
f — £(X2 + Y2+Z2), on trouvera pour a^a'^ et a'^ a des expressions réelles; donc, etc.; et l'on raisonnerait de même par rapport aux quantités ^^ ^^ et y', y^
Nous terminerons ce sujet en faisant remarquer que la méthode suivie pour établir la réalité des racines de l'équation du troisième degré en X a déjà été donnée par M. Gauchy, mais sous une forme un peu différente, dans le troisième Volume des Exercices mathématiques. Nous ferons voir aussi, en peu de mots, qu'elle s'étend immédiatement aux équations générales relatives à des polynômes homogènes du second degré à un nombre quelconque de variables, équations qui s'offrent dans la détermination des inégalités séculaires des éléments du mouvement elliptique des planètes.
Considérons à cet effet l'équation en X de degré /? + i , dont le premier membre serait le déterminant
^n-h\,ti
les quantités aij vérifiant pour toutes les valeurs des indices la condition aij=: aj^i. Nous supposerons qu'on ait démontré la réalité des racines de l'équation analogue, mais de degré /z, dont le premier membre serait le déterminant
An =
et nous nommerons ces racines, rangées par ordre croissant de grandeur,
^X, 'r,2, "^s, ..., 'Tin-
Nous supposerons aussi qu'on ait démontré que le déterminant déduit du précédent, en supprimant la dernière colonne verticale et la dernière ligne horizontale, savoir
«2,1 «rt-1,1
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possède la propriété caractéristique de la dérivée première de \nj prise par rapport à X, c'est-à-dire que, si l'on y fait les substitutions
>^ = '^l, '-G2, "^3. ..., 'n/tl
les signes des résultats seront respectivement
et ne présenteront que des variations. Gela posé, nous décomposerons A/2|.i en deux parties comme il suit :
La première sera évidemment le produit de anj^\^n-\-\ — '^^ par le déterminant A,^, et la seconde, en j considérant pour un instant (^K.n^Ki <^2,/z+^7 •••5 <^/z,/^+i comme n indéterminées, sera au signe près le polynôme adjoint du polynôme suivant :
Xi [( «1,1— X)Xi-i- «1,2^2 -1-. ..+ «1,«X,,]
H- X2 [6?2,i Xi +(«2,2— X)X2-f-. . .+ «2,/iX,J
• X;j[a;i^| Xi
dont l'invariant est précisément A,^. Or, en substituant au lieu de \^ dans A/^^^ , la série des racines 'A), de l'équation A/2 = o, cet invariant s'évanouira, et alors le polynôme adjoint, se réduisant à un carré parfait, sera toujours du même signe, quelles cjue soient les valeurs des quantités a^^/^^|, a
Maintenant il est aisé de voir que le coefficient de ci^^^nj^^ sera le déterminant t^n-\'i affecté dn signe — . Donc pour les valeurs
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THÉORIE DES POLYNOMES HOMOGENES. 4^^^
les signes correspondants de A,;^, seront ceux de — A/;^, c'està-dire^ d'après ce qu'on admet,
Joignons enfin à ces substitutions les suivantes : X = — oc et X = + 00 ; en observant que le premier terme de à„^\ est ( — X)'^"'"^ , on trouvera finalement que les signes de cette fonction pour
X = — 00, '/)!, y]5, .r]3, ,.., rin, -+- oo
seront
De là résulte que, sous les hypothèses admises, l'équation A,i^^ = o a toutes ses racines réelles. Et de plus on voit par les limites entre lesquelles sont comprises ces racines que A^^ jouirait, par rapport à cette équation, de la même propriété que la fonction dérivée du premier membre. Dès lors, les propriétés que nous voulions établir dans toute leur généralité découlent immédiatement de ce qu'elles ont été démontrées dans le cas particulier que nous avons eu en vue pour la recherche des axes principaux des surfaces du second ordre.
IV. — Théorème général sur la réduction des polynômes homogènes du second degré par des substitutions à coefficients réels, à des sommes de carrés.
Ce théorème s'énonce ainsi :
De quelque manière qu'on transforme un polynôme du second degré à coefficients réels en une somme de carrés de fonctions linéaires réelles, ces carrés étant affectés de coefficients numériques également réels, le nombre de ces coefficients qui auront un signe donné sera toujours le même.
Ainsi, par exemple, étant proposé le poljnome
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on ne pourra par aucune substitution réelle de la forme
Îa^o = ao Xo + (3o Xi + . . . -H Xo X^, Xi = ai Xo-h Si Xj -I-. . .H- >ci X/,, Xn= a/iXo+ (3,iXi + . . .-HZ/,X,,, le transformer en un autre polynôme tel que
(3) — XJ — X^ — . . . — X^ -4- ^/c+i 4- X/^^2 -h. . . -I- XJ,
k étant différent de L C'est ce cas particulier auquel se ramène immédiatement le théorème général que nous allons établir.
Et d'abord on peut supposer k >> i, car, s'il en était autrement, on résoudrait les équations (2) par rapport aux indéterminées X, et l'on raisonnerait sur cette nouvelle substitution à coefficients réels comme ceux de la proposée. Cette résolution d'ailleurs n'est jamais impossible, car, en nommant pour un instant S le déterminant relatif aux équations (2), on sait que l'invariant du polynôme (i), à savoir ( — i)^"^\ sera le produit de l'invariant du polynôme (2) dont la valeur est ( — 1)'^'^% multiplié par le carré de S; et cette relation montre que S n'est jamais nul.
Cela posé, parmi les diverses équations auxquelles les coefficients de la substitution (2) doivent satisfaire, on voit s'offrir en premier lieu celle-ci :
qui ne pourrait évidemment être vérifiée que par des valeurs imaginaires des quantités a, si l'on avait
ao=o, ai = o, ..., a^— o.
Or on va voir comment, en admettant la substitution (2), il est possible d'en déduire une nouvelle, qui, changeant le polynôme (i) en le polynôme (3), ait ses coefficients réels, et de plus présente ce caractère que l'indéterminée Xq ait disparu dans les expressions de ^0? '^M •••? -^/f-i- Comme on suppose /r >> ^, k — i sera au moins égal à /, et, les conditions précédemment énoncées se trouvant réalisées, notre théorème se trouve par là même démontré.
A cet effet, nous commencerons par remarquer qu'on peut^
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THÉORIE DES POLYNOMES HOMOGENES. /|65
sans changer le polynôme (3), y remplacer Xq et Xi par
XqCoscp -H Xi sincp, X^sincp — Xi cos'^, et introduire par là un angle arbitraire cp dans les formules (2), qui deviendront
cûQ = {cC() coscp -H Po sincp)Xo-h(ao sincp — [3o coscp)Xi-i-. . ., a;^ =(ai coscp -f- ^i sincp )Xo-i-(ai sincp — pi coscp)Xi-4-. . . ,
Maintenant, et quels que soient les coefficients a, P, . . ., on pourra disposer de cet angle de manière à avoir
cco coscp +- Po sincp = o,
et l'on sera amené à une nouvelle substitution également réelle où l'indéterminée X^ aura déjà disparu dans la valeur de ^q. Cela fait, partons de cette nouvelle substitution pour y introduire de nouveau un angle arbitraire, en remplaçant X, et Xo par X^ coscp + X2 sincp, X^ sincp — X2 coscp, ce qui se fera encore sans changer le polynôme (3). On voit, en raisonnant comme tout à l'heure, qu'on pourra annuler le coefficient de X^ , dans l'expression de Xq. Or des calculs analogues pourront être continués jusqu'à ce qu'on soit amené à remplacer X/f^ et X/f par X/f^ coscp + X^ sincp, X/(•^ sincp ^ Xyt coscp, et en dernière analyse on voit que de la substitution (2) on aura déduit par des opérations toujours possibles une substitution réelle dans laquelle Xq, X|, ..., X/f i auront disparu de l'expression de l'indéterminée Xq. Ce premier point établi, nous concevons qu'on répète, en raisonnant sur la valeur de l'indéterminée suivante x^^ des opérations toutes semblables, mais en se bornant à faire disparaître de proche en proche, dans l'expression de cette indéterminée, les coefficients de Xq, X^, . . ., X/f 2. On n'aura ainsi besoin d'introduire dans les substitutions successives que les indéterminées Xq, Xi, ..., X/t.^, de sorte que, ces calculs faits, on ne verra reparaître dans la valeur de Xq aucune des indéterminées qui en ont déjà été éliminées. Cela posé, il est clair qu'en raisonnant d'une manière analogue successivement sur ^2? ^3j •••7 011 s^ra en dernier lieu conduit à faire disparaître la seule indéterminée Xq de la valeur x/ç^. Elle ne se trouvera point d'ailleurs, dans les indéterminées précédentes ^a 2 5 ^/f 3, . . ., .^0 7 6t de la sorte on sera parvenu à une dernière substitution, conséquence de la substitution (2), changeant encore le polynôme (i) en le polynôme (3) et qui tombe dans le cas indiqué H. — II. 3o
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plus haut, où il est manifestement impossible que les coefficients soient des quantités réelles.
Passons maintenant au théorème que nous voulions établir.
Supposons qu'un polynôme homogène quelconque da second degré k n-{-i indéterminées, /{uq^ u^^ ..., Uf^)^ soit transformé d'une première manière en une somme de carrés affectés de coefficients numériques, par la substitution réelle
,^. ] Ui = a^ Xo^ biû^i-h. . .-^ k]Xn,
de sorte qu'on ait
Si l'on donne une seconde substitution également réelle
Uo = Ao Xo -4- Bo Xi -H . . . -+- Ko Xn, t^t = Al Xo-4- Bi Xi -{-'... -f- Kl X/,,,
Un= A,,Xo-}- B/,Xi+... + K,,X,„ de laquelle résulte la transformation analogue
/{uo, Ui, . .., J^/^)=^ 'OoX^-f- '/j.^Xf 4-. . .4-iQ^X2,
il s'agit de prouver que le nombre des quantités e, qui auront un signe donné, sera égal au nombre de quantités rj, qui auront aussi le même signe.
A cet effet, et pour fixer les idées, supposons négatives les quantités £o7 ^1? '"•) ^ô ^^ positives les suivantes £/^, , e/^o? •••7 ^n- Supposons aussi que 7]o, '/ii, ..., '^a soient négatifs, tandis que 7)^4.1, ^1^+2? ' • '•) "^1/2 seront positifs. On aura d'abord, en égalant entre elles les deux expressions du polynôme proposé/(^^o, Ui^ . . ., 11,1)^
les variables étant liées par ces relations,
«0 ^0+ ^0 ^i + - • .+ ^^0 ^7i= A.0 Xo+ Bo Xi-H. . .-I- Ko X/^, «1 ^0+ ^1 ^1 -+-• • --^ ^^1 ^n= Al XoM- Bi Xi + . . .-h Kl Xn^
aaOC^-\- bnOCi-^. . .M- kjiXn — A,iXo-l- B/;Xi-+-. . .-H Y^aXn.
Maintenant remplaçons x^^x,^^ . . . , ^/ d'une part, ^/f i , Xi^2 ^'-i^n de i autre, par ■ __? , •> • • • ? , et ■ . .^ , -> • • • ? -;== •
Remplaçons de même Xq, X, , ..., X/f par , " .; ,' ^ • ? •••:» ,
A+1, XA4.2, . . ., X,i par — =^ , ' > •••? -=; on se trouvera y-'Q/rr+i y'nA'-i-2 y^'']^
amené à la relation
= — X^o — Xf —. . .— X^H- X^,.,.^ -h Xfc+2 +• . .+ X|,
les variables x dépendant des variables X, par les relations à coefficients réels
ao bo ko
Xq h- , ^1 -h ... -i- --^ Xn
XqH , Xi -1-. . .H ^=:X;î,
/—"ni y^n
bi kl
Xo -\- - , ^1 -H ... -f- -= Xrt
s|—^\ Sl^n
Xq h / Xi -h . . . H -jz=. X^,
y — "^1 y^ri ?
bn , , kn
Xo -\- 371 + ... H yz= Xn
s/ — Z\ S/Zn , Xq + , X 1 -h ... H —=, X,i.
y — -qo y — 'Oi /"n^
Or, en résolvant ces équations par rapport aux indéterminées x^ on sera conduit à une substitution réelle, telle que
^Tq = CCq Xo -H po Xi -f- . . . -f- Xq X,i,
371 = «1 Xo -H (3l Xl -i- . . . -4- Xl X;i,
Ao .
y^— -no
ai
\/— £0 Al .
y/— Yio
37/,r=a;^Xo-H (3,,Xl-f-.. .-l-X;,X;i,
et l'impossibilité d'une telle substitution a été démontrée précédemment. Ajoutons encore que la résolution d'équations dont il vient d'être question n'est sujette à aucun cas d'impossibilité ni d'indétermination, si l'invariant du polynôme proposé
yC^Oî U\i ' ' ' T Un)
est différent de zéro, et si aucune des quantités e n'est nulle. Nommant, en effet, A cet invariant, et S le déterminant relatif aux équations (4), on aura, comme conséquence de l'équation
/(Mo, Ml, . . ., U;i)= £o^o-+- £j^i +. . .-+- ^n^L
la relation
d'où il résulte bien que S ne peut être supposé nul.
La proposition que nous venons de démontrer montre comment la distinction en diverses espèces qui a été faite de polynômes à trois indéterminées, au point de vue géométrique de la distinction des diverses surfaces du second ordre c|ui sont douées de centre, peut s'étendre à des polynômes à un nombre quelconque d'indéterminées. Chaque espèce de ces poljaiomes se trouvera définie par le nombre des carrés qui se présenteront affectés de coefficients positifs ou négatifs, lorsqu'on fera évanouir les rectangles par une substitution réelle. Et la propriété essentielle de cette classification consistera en ce que tous les polynômes qu'on peut déduire les uns des autres par des transformations linéaires à coefficients réels, offriront tous le même caractère spécifique. Mais ces considérations vont recevoir une nouvelle et importante application dans la question suivante.
V. — Sur la détermination du nombre des racines réelles des équations numériques qui sont comprises entre des limites données.
Nous considérerons une équation à coefficients réels quelconques de degré /2, F(Ç)=: o, dont les racines, supposées inégales, seront désignées par a, /^, c, ..., A*. Cela posé, soient t une indéterminée réelle, et /le polynôme homogène suivant :
/= 7 (^ -1- aj/ -I- a"2^ -H. . .-H a'^-ip)2
{ce -^ ky -}-/:2^ -h. . .-+- /r'^-i p)2 ;
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nous établirons d'abord cette proposition :
En réduisant f à une somme de carrés par une substitution réelle [ou si Von veut en cherchant V espèce à laquelle appartient ce polynôme)^ le nombre des carrés affectés de coefficients positifs serct égal au nombre des couples de racines imaginaires de V équation proposée , augmenté du nombre des racines réelles qui sont plus grandes cjue t.
Soit, pour abréger,
on pourra écrire /de cette manière,
^ a—tb-t^"'~^ k — t'
et il est bon tout d'abord de remarquer que la présence des racines imaginaires dans l'équation proposée n'empêchera pas les coefficients de ce polynôme d'être réels. Effectivement ces racines devant être conjuguées deux à deux, si l'on a a = a -{- [3 y/ — i , une autre racine, b par exemple, aura pour expression b =: ol — Py/ — i, et
les termes ^^^ — -^ y -^ ou entrent ces racines, seront également
des quantités imaginaires conjuguées de la forme A-f-By^ — i et A — By/ — I , dont la somme sera réelle.
Gela posé, il nous est nécessaire d'établir qu'en faisant
( X ^ a y -^ a'^ z -+-... -{- a'^-'^ (; = X , \x^by-^b'^z-^...-^ 6«-i (^ = Y, i 1
\ X -^ ky ^ k'^-z -^. . .-\- y^'^-i P = y ,
on en tirera, sans impossibilité ni indétermination, les valeurs de ^, jK, s, . . ., exprimées linéairement en X, Y, Z, . . .. Effectivement ces équations peuvent s'écrire ainsi
cp(a)=X, cp(ô)=Y, ..., cp(/c) = V,
et la formule d'interpolation de Lagrange donnera immédiatement
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Or, en égalant dans les deux membres les coefficients des mêmes puissances de Ç, on obtiendra les expressions linéaires de x.y^ z^ ...^ en X, Y, Z, ..., sans autres dénominateurs que les quantités F^(a), Fr(6), ..., F^(A'), dont aucune ne s'évanouit, puisque par hypothèse l'équation proposée n'a pas de racines égales.
Ce point établi, considérons en premier lieu le cas où les racines a, è, c, . . ., A" seraient toutes réelles. On pourra alors employer la substitution (i) pour reconnaître l'espèce à laquelle appartient le polynôme/, car, exprimé en X, Y, Z, . . ., il devient
et l'on voit que le nombre des carrés affectés de coefficients positifs est précisément égal au nombre des racines qui sont plus grandes que t, La proposition annoncée se trouve ainsi immédiatement démontrée dans ce premier cas.
Supposons, en second lieu, la présence d'un ou de plusieurs couples de racines imaginaires, et soient, pour fixer les idées, <2 = a-f|3y/ — I, 6 = a — Py/ — i. Alors la substitution (i) n'est plus à coefficients réels, mais nous observons qu'elle le deviendra en mettant, au lieu de X et Y, X + Yy/ — i et X — Y y/ — i . Effectivement, au lieu des équations cp(<2)= X, (p(Z?)=r= Y, on aura les suivantes :
cp(a)= cp(a -{- (3v/~)= X + Yv/^TT, cp(6) = cp(a-Pv/=l)-X-Yv/=rT,
et l'on voit bien que les nouvelles indéterminées X et Y seront la partie réelle et le coefficient de \J — i dans l'expression (X)(a4- ^^y — i). Semblablement, s'il se présente un autre couple de racines imaginaires conjuguées c et d^ au lieu de poser cp(c)=: Z, (p((i) = U, on écrira
Cela posé, effectuons, dans le polynôme /, la substitution (i), modifiée comme on vient de l'expliquer par rapport aux racines imaginaires. Les termes de ce polynôme qui correspondent aux racines réelles donneront précisément, comme dans le premier
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THÉORIE DES POLYNOMES HOMOGENES. q^l
cas, autant de carrés affectés de coefficients positifs, cp'il y aura de racines moindres que t; ainsi nous n'avons plus à considérer que les termes correspondants aux racines imaginaires conjuguées. Soient a et b deux racines de cette espèce; les termes
— l — cD^Ca)-!- T-^ — ^'(b) deviendront, en effectuant la substitu-
tion,
4(X^Yv/=Tr-H^(X-Y/-r,
expression susceptible d'une réduction remarquable.
Soit en effet ^ ■ = p(cos(p +\/— i sincp), t étant réel; ^ ^
sera la quantité conjuguée, à savoir ^ = p(coscp — y — i sincp), et notre expression deviendra
ces
£ +/ I sin ^ Vx -H y/- [ )]'
?/— sin|)(x-Y/::r7)]'^
, O CD \ 2 / cp 9
2 p X cos - — Y sin - — 2 p X sin -i- + Y cos --
Nous sommes donc amenés à cette conclusion, que la présence d'un couple de racines imaginaires conjuguées dans le polynôme/' donne lieu à deux carrés dont l'un est affecté d'un coefficient positif, et l'autre d'un coefficient négatif, quel que soit t. Et en général, si l'équation proposée contient p. couples de racines imaginaires, les termes du polynôme / qui contiennent ces racines donneront lieu à [j. carrés affectés de coefficients positifs et à ]x carrés affectés de coefficients négatifs. Le nombre total des carrés affectés de coefficients positifs qui s'offriront pour caractériser l'espèce à laquelle appartient le polynôme sera donc, comme nous l'avons annoncé, le nombre de couples des racines imaginaires augmenté du nombre des racines réelles de l'équation proposée qui sont plus grandes que t.
Désignons par (^) ce nombre total des carrés affectés de coefficients positifs, et représentons par tç^ et t^, deux valeurs distinctes de l'indéterminée t dont la première soit plus grande que la seconde. Il est visible que l'expression (^^ ) — [t^) sera précisément
le nombre des racines réelles de l'équation proposée F(î^)=: o, qui sont comprises entre les limites /q et t^. Maintenant il ne nous reste plus que quelques mots à ajouter pour montrer que le polynôme /' peut s'évaluer au moyen des coefficients de l'équation F(Q= o. Observons, à cet effet, que tous les coefficients de/* sont
de la forme
Ur, en décomposant en tractions simples ? on prouvera
n(^) désignant la partie entière. Si donc on divise ^^F^(/) par F(^), et qu'on désigne par R le reste de la division, on aura précisément
R a^ ¥ ki
La quantité désignée par [t) se trouvera donc en réduisant à une somme de carrés un polynôme du second degré entièrement connu ; mais cette détermination des coefficients peut être évitée par l'analyse suivante qui se fonde sur la proposition déjà démontrée, que tous les polynômes déduits de /, par des substitutions réelles, appartiennent à la même espèce, c'est-à-dire qu'en les réduisant d'une manière quelconque à une somme de carrés, on arrivera toujours au même nombre de carrés affectés de coefficients positifs ou négatifs.
Soit
l'équation proposée. Posons
nous ferons en premier lieu la substitution propre à rendre identique, par rapport à l'indéterminée Ç, l'équation
En comparant dans les deux membres les coefficients des mêmes
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puissances de 5^, on déterminerait effectivement les valeurs de x^ y^ 5, ..., en X, Y, Z, — Mais il suffit de remarquer qu'en mettant à la place de ^ les racines a, 6, ..., k. on en tire les relations
cp(a)=(a-0^(^), cp(6)=:(è~0*(^),
Il s'ensuit que le polynôme /, que, pour abréger, nous écrirons ainsi :
se change par cette substitution dans le suivant
le signe 7^ indiquant la somme de tous les termes relatifs aux
diverses racines a, ^, . . ., k.
Cette transformation obtenue, nous en ferons une seconde, en remplaçant X, Y, Z, . . ., V, par des indéterminées qu'il convient de représenter ainsi : Ç^^, Ç^, Ç27 •••7 ^n-\i et cela en posant
On arrive alors à cette conséquence, que les fonctions linéaires $(a), ^(^), . . ., ^(^)j peuvent être représentées parles cjuotients
^ , - ,'? ■••' ^ \ •) si, la division faite, on remplace dans g — a t-~h X^ — k ^ ^ ^
chacun d'eux une puissance quelconque de Ç, telle cjue ^\ par
l'indéterminée Ç/. Nommant donc XJ^ une seconde quantité analogue
à Ç, il est clair que l'expression
représentera parfaitement, et sans ambiguïté possible, ce que de
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l\lk OEUVRES DE CHARLES H ERMITE.
vient, par la substitution (A.), le polynôme
pourvu que, les divisions effectuées, et après avoir ordonné par rapport à Ç, on écrive d'abord Ç/ au lieu de Ç^', sans toucher d'ailleurs à l'indéterminée X^ \ puis, cette opération faite, qu'on remplace semblablement X^^ par Ç^-, après avoir ordonné par rapport à Ç'.
Ceci bien compris, rien ne sera plus facile que de saisir les transformations successivement indiquées dans les équations suivantes :
Âaà L, — a Ç — a
