F(OF(C

l — ^'Xl — a, X^—a

î-ç' yz^x^-a Z^x:-al'

La dernière nous conduit à employer les relations bien connues

de sorte que le résultat de la substitution (A) dans le polynôme f se trouve représenté par cette expression très simple, et de laquelle ont disparu les racines a, 6, . . ., /r, savoir

Quelques applications suffiront au lecteur pour se rendre familière cette métamorphose curieuse d'une fonction entière de deux variables Ç et X^ en un polynôme homogène du second degré, et l'on verra sans peine un algorithme pratique, qui permet d'effectuer rapidement cette transmutation de la première expression analytique dans la seconde. Mais, pour abréger, nous supprimerons ces détails et nous nous bornerons à remarquer que, lorsqu'on

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donne numériquement les limites ^y, t^^ on doit, pour obtenir les quantités nommées précédemment (j^q) et {t\)^ opérer sur les expressions

(A,-OF-(OF(r)-(^o-r)F(C)F(0

dont les coefficients sont purement numériques, et non pas sur Fexpression générale, contenant l'indéterminée t, A la vérité, on trouverait de cette manière (après avoir fait disparaître les rectangles des variables) les coefficients des carrés exprimés par des fonctions de ^, dans lesquelles on pourrait substituer a posteriori les valeurs ^o ^t t^ ; mais l'opération serait beaucoup plus embarrassée et plus longue.

Supposons, par exemple, qu'on veuille savoir combien de racines de l'équation

sont comprises entre zéro et l'unité. On trouvera d'abord (suppression faite du facteur positif 3) que l'expression

donne le polynôme quadratique à trois indéterminées

Ce poljnome pour ^ == o se réduit à

q-q-2ÇoÇ2+4^iC2 = (?o-?i)^-(ïi-2?2)-^-i-3q; et, si l'on j fait ^ = i , il devient

-2^?-3î?-q-H2^1?0+4?l(;2--(Ç2-2Îl)2H-(?l-Co)^-3q.

Dans le premier cas on obtient deux carrés affectés de coefficients positifs, et aucun dans le second; ainsi : (o)==2, (i)= i; de sorte que le nombre des racines de l'équation proposée qui sont comprises entre zéro et l'unité, est égal à i, différence des quantités (o) et (i). Observez enfin que, pour une valeur de t infiniment

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grande et positive, ^ se réduit au polynôme qu'on décompose aisément comme il suit :

Donc, comme on n'obtient aucun carré affecté de coefficient positif, le nombre des racines de l'équation proposée qui sont supérieures à l'infini, augmenté de la moitié du nombre des racines imaginaires, c'est-à-dire évidemment le nombre des couples de ces dernières racines, se réduit à zéro. Ainsi l'équation proposée a toutes ses racines réelles.

Nous ne nous étendrons pas davantage sur les considérations précédentes, qui ont fait voir toute l'importance de cette opération algébrique si simple et si élémentaire, qui consiste à mettre un polynôme homogène du second degré sous la forme d'une somme de carrés. Mais, ainsi que nous l'avons promis en commençant, nous reviendrons, pour la compléter, sur le mode particulier de décomposition qui a été donné au paragraphe I.

Considérons, par exemple, nn polynôme à quatre variables f(x^y^ ^, ç); la méthode dont nous parlons conduit à un résultat de cette forme,

f{x,y^z,v)= z {x -\~ ay -^ bz ^ cvY^ H- £'(jK -+- a Z -i- b'vf, -^^"{z -^a"zy,

et, comme il importe surtout de connaître les facteurs s, e', ^' ^ e'^^, dont les signes déterminent l'espèce du polynôme, nous allons donner le moyen de les calculer directement.

A cet eifet, nous observons que l'invariant du second membre sera, d'après les théorèmes précédemment établis, le produit ee' e'^ e'^\ multiplié par le carré du déterminant relatif aux fonctions linéaires

ay

-hb

z -{- cv,

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Or on reconnaît que ce déterminant se réduit à son terme principal, qui est l'unité.

Nous pouvons ainsi regarder comme connu le produit zz' rJ' e"^ , Cela posé, faisons dans l'écjuation précédente <^ ==r o, un raisonnement tout semblable montrera que tz' z" est l'invariant du poljnome à trois variables fi^x^y^ z^ o).

Continuons de même en supposant (^ = 0, s =: o, puis enfin (; r=: o, 5 = 0, / = o, on trouvera successivement que s, s^ est l'invariant de/(^, y, o, o) et s le coefficient de ^-, dans le polynôme proposé. Ces quatre coefficients pourront être calculés d'une manière directe, comme nous l'avons annoncé.

En général, soit /{x^^ x^^ ...^ x,i) un polynôme homogène à n + I indéterminées; nommons A/ l'invariant du polynôme qu'on en déduit en annulant toutes les indéterminées ^'/+i , ^/+25 • • •? ^n^ et Aq le coefficient de x\^ on trouvera par la méthode de décomposition en carrés, dont nous nous occupons, le résultat suivant :

r= AoXj^-H — Xî-H — X|-4-. . .+ T X,. -+-.. .-4- X;,,

les fonctions linéaires ayant cette forme,

X^- = Xi -h aXi-^Y + h^i^i 4- ... H- kJCri,

OÙ a, h^ . . ., k sont des constantes réelles.

L'espèce à laquelle appartient le polynôme / se détermine donc directement d'après le nombre des termes positifs et négatifs de la sidte

Al A2 A;,

OU, ce qui revient au même, d'après le nombre des variations et des permanences de la suite

I, Ao, Al, A2, ..., A;,i, A^.

C'est donc de ces quantités que dépend la détermination de l'expression désignée tout à l'heure par {t) dans le polynôme

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OU dans celui qui a pour expression symbolique

Relativement au premier de ces polynômes, on trouve ainsi C[ue

le signe 7^ représentant la somme des termes qu'on déduirait du

premier en y faisant toutes les permutations des racines. Or ces formules sont précisément les fonctions de M. Sturm, sous la forme que leur a donnée M. Sylvester; de sorte que les considérations précédentes peuvent être considérées comme donnant une démonstration nouvelle du théorème de ce célèbre géomètre, démonstration dont le principal caractère est de n'employer aucune considération de continuité.

A ces dernières observations sur la réduction d'un polynôme du second degré à une somme de carrés, nous ajouterons un procédé donné par M. Moutard^ professeur à Paris, pour effectuer l'opération dans un cas où la méthode serait en défaut, par exemple s'il était question du polynôme

y — a xy -^ ^ccz -\- yyz dans lequel les carrés des variables n'existent pas. On observe cjue

et qu'on peut ensuite écrire

^(ax ^ ^z)(<xy -h p-s)= [ace -h ay -I-(y + P)^]~

ce qui donne bien une décomposition du polynôme proposé en trois carrés. Et l'on pourrait opérer d'une manière semblable dans les cas analogues relatifs à un nombre quelconque d^indéterminées.

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