LE RAYON DE COURBURE
DES COURBES &AUCHES.
Nouvelles Annales de Mathématiques, i^ série, t. V, 1866, p. ^97.
On donne clans l'enseignement un calcul an peu long pour déduire de la formule
p ds
l'expression du carré de l'inverse du rayon de courbure au moyen des coordonnées ^, jr, z et de l'arc 5, savoir
L :^ J-^[(da;d'^y-dyd^a^y^(dyd''z — dzd-^yy^{dzd^x — dcvd'-zy],
la variable indépendante étant quelconque. On peut l'abréger comme il suit.
Soit pour un instant
dcc , dy dz
ds ds as
et faisons
a ~ a-^ da^ b' = b -^ dh^ c'—c~{~dc^
l'angle de contingence do sera donné par la formule relative au sinus, savoir :
sin2 (icp ={ab'—ba'y-'-\-{ac'— ca'Y-^{bc' — cb'Y;
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de sorte que l'on aura immédialement d(p^ en calculant les expressions ab' — ba' ^ .... Or on trouve
ab' — ba' — a{b -+■ db) — b{a -^ da)^ =z a db — b da^
dx dy dy dx ds ds ds ds
et cette dernière expression donne liea à la rédaction suivante
dx d^-y ds — dy d'^ s dy d'^x ds — dx d''- s dx d^'-y — dy d'^- x ds ds'^ ds ds^ ds^
On a donc par un calcul bien facile
, , , , dx d'^ y — dy d^x ,
ab — ba ^=- — -, ds.
ds'^
et semblablement
, , dx d^z — dz d'^x ,
ac — ca ~ :j— ds.
ds-^
, , , , dy d- z — dz d'^ y ,
bc — cb = -^ r— — ds,
ds^
d'où suit, comme on voit, la formule annoncée.
ds.
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SUR L'INTÉGRALE ff,
x'f^ dx
Annali di Matematica, t. I ('2^ série, 1867, P* i55).
/r^in don -^== présente deux cas bien distincts, suivant sj \ — x'- "
que l'exposant m est pair ou impair; dans le premier^ elle est
transcendante, dans le second, simplement algébrique et de la
forme P\/i — x'-^ P étant un polynôme entier en x qu'on obtient
ordinairement au moyen dn procédé de l'intégration par parties,
mais que l'on peut déterminer différemment et de manière à mieux
mettre en évidence sa nature analytique.
Je chercherai en premier lieu le degré de P, en développant
suivant les puissances décroissantes de la variable les deux
membres de l'équation
Dans le premier, le terme le plus élevé en x sera — 7-=^? ^t dans
le second a.x^^'^^ sj — i , si l'on fait P = y.x^'-\- cfJ x^~^ +. • .; de sorte que l'on a
et l'on obtient en même temps la valeur du coefficient a, savoir
Cela fait je poserai, pour obtenir P,
x'''^ dr
Pv/i — ^
\/ \ — X II. — IL 3r
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C étant une constante, et l'on en déduira
G I r^' x^^^- dx
\/v~x'^- sj \ — X- J ^ \/ [ — X-
Or, en développant le second membre suivant les puissances ascendantes de la variable, le premier terme donnera la série infinie
1 /^^ T"^ clx Ml
Quant au second terme — =^rr / ^ il donnera également
naissance à une série inQnie, mais commençant évidemment par la puissance ^'^^+' . Gomme P est un polynôme fini du degré m — i , il est clair qu'en posant rn — i = a/z, l'effet de ce second terme
doit être de détruire tous ceux de la série . venant après
■ x-^K d ou cette conciusion :
