LU

Dans V équation (i), le polynôme P est^ à un facteur constant près^ \V ensemble des premiers termes du dé^^eloppement de

(1 — X') ^, jusqu^au terme en x-'^ ^ sui^>ant les puissances ascendantes de la variable.

Pour déterminer le facteur constant C, il suffira de profiter de la remarque faite tout à l'heur e que a == ; on devra donc poser

•iJ\ A) . . . '/ a ni

d'où

J'observerai enfin que l'équation (i) différentiée donne

ax

d'où l'on tire aisément une équation linéaire du second ordre sans second membre, car il suffit de différentier une seconde fois, puis d'éliminer le terme indépendant de P et de ses dérivées. On trouve

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SUR L INTEGRALE / -' 4^J

de la sorte

x(i — a?2 ') h [( jn — Z^x- — m 1 -j h ( m — i)xV — o.

^ ^ dx~ '- ' ^ dx

Cette équation est vérifiée en posant P=-— =; ainsi, e«

pariageant cV une manière quelconque le développement ordonné suivant les puissances croissantes de x de la série

(i — ^-) -, les deux parties satisfont à une même équation du second ordre.

-, et je pose

alors

£ désignant une constante et |îî an nouveau polynôme, commen-

çant comme tout à l'heure par le terme '■ Je n'ajoute pas

de constante, le second membre devant être comme le premier une fonction impaire de la variable. La grande différence de nature analytique des relations (i) et (2) va se manifester à l'égard des polynômes P et "|î, car, en opérant absolument comme plus haut, on obtient cette conclusion :

Dans Inéquation (2) le polynôme |It est, à un facteur près^ r ensemble des premiers termes du développement de la fonc-

j arc sin^ . , .,„,

tion transcendante ——===:: jusquau terme en x-"- ', suivant

les puissances ascendantes de la variable.

Ce développement bien connu, et que donne immédiatement l'équation

dy / . X

savoir

nrr, sin.^ 2 , i.li ^ '}.A.Ç^...•).^l — ■>, ,

conduit, en faisant m = 2/z, à l'expression suivante :

Et en même temps on arrive à la détermination de e en posant

i.l\.Ç). . .in — 1 I r

" 3 . 5 . 7 . . . 2 ;i — I m 'i7i d'où

c'est-à-dire, précisément, le coefficient de ^^/z dans le développe-

i ment considéré plus haut (i — x^) ^.

On tire aisément de ce dernier résultat la proposition suivante : En désignant par F(x) un polyjionie entier, ^intégrale

^ sej^a de La j orme

dx

, r dx

J sj^ — x"-

<ï>(^) désignant aussi un polynôme entier, et le coefficient s de la partie transcendante s'obtiendra en calculant le terme indépendant de X dans le développement de V expression

suivant les puissances décroissantes de la variable.

Mais on peut le démontrer immédiatement en remarquant

C^^^ix^dT d'abord que l'on a évidemment / ) 1 — =7i£, et ensuite que

-, ,^ . r'^'^ F(.r) dx .51.- • t '

l'intéarale définie 2 / , peut s obtenir en intégrant

^^All^, z décrivant un cercle de rayon infini, ayant son centre à

l'origine. Il faut, à cet effet, développer suivant les puissances décroissantes de z l'expression proposée

y/l — ^2 zs/

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1 Or, F(^) étant un polynôme entier, la quantité F(^) ( i ^ j

ne renferme qu'an nombre fini de puissances positives, et, en désignant par p le terme indépendant de la variable dans cette quantité, l'intégrale cherchée se réduira simplement à celle-ci,

r dz

dz

27rp,

de sorte que l'on a bien p == s.

On arriverait enfin au résultat, par une voie purement algébrique et très simple, en partant de l'égalité

¥ (x^ dx ^ . ^ 1 r dx

s/i — x'- J sJx — C

Il suffit en eff'et de différentier, de développer ensuite les deux membres suivant les puissances décroissantes de la variable, et de

comparer les termes en — •

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