EN FONCTION DU QUOTIENT DES DEUX PÉRIODES

Annali di Matematica, t, lïl {i^ série, 1869, p. 8j)

On sait qu'en posant on a pour le module k^=z /(^oj) cette expression,

intû Z7IW , ïTztû

l ] '2 qI'K'.O | ■) Qk-lTiLù __| 2 g9^"TC(jt)

OÙ la variable w entre sous forme transcendante, et j'ai observé ailleurs qu'en appliquant la formule de Maclaurin à la quantité f(^i-{~iù) pour obtenir un développement algébrique par rapport à co, les coefficients au lieu d'être rationnels , comme dans les diverses séries élémentaires sinco, cosco, log(i + d)), contiendront la transcendante numérique

r ^ do

M'étant proposé de calculer les premiers termes, j'ai été conduit à un autre développement également algébrique, mais où les coefficients sont purement rationnels, comme on va voir.

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490 oeuvrp:s de char les h ermite.

Partant des formules données ip^ir Jsicohi ddiiis les F ujidainen ta ^ § 29, et où l'on fait

4 2.4.6.8 2.4.6.8. fO. 12

2 J \ 2 2.4.6 2 . 4 • 6 . 8 . J o j'en déduis

«72 32. (7^ 32.G2.r/« 71 K -+- K TZ 0} -^ l

et, le retour des suites donnant la valeur de q^ on trouvera cette expression où les coefficients sont tous rationnels, savoir :

1 / 2 J 2 co — A / 2 J 2 (0 — A3

2 \ TT (ù -\~ i / \ TT OJ ^ i J '^ 2 J 2 (.0 — A ''^ 3 / 2 J 2 W l

I 3 \ TT (x> -\~ l / 0 V 7Ï M

Faisant pour un instant

on aura donc

et la série en 'C, du second membre aura cette propriété, qu'en y

changeant Ç en ;-. l, oli a et b sont entiers, la nouvelle série

ainsi obtenue sera liée à la première par une équation algébrique, cette relation entre les deux séries étant l'écpiation modulaire pour la transformation dont l'ordre esta^ 4-Z?^. Cette remarque, appliquée

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