SUR L'INTÉGRALE

sin a dx

IX cosa -\~ X-

Bulletin des Sciences mathématiques , t. I (1870, p. 820).

Soit

sin a <:/a7

X cosa + ^'^

il est d'abord aisé de voir que l'on a

/(7.-^Tu)---/(a);

car, en faisant, dans l'expression

"^ sin 7. dx

la substitution x — - — /^, nous obtiendrons sur-le-cliamp

La fonction /(a) est donc périodique, et il suffit, pour en obtenir la valeur générale, de la déterminer en supposant a compris entre zéro et tc. Faisant à cet effet

X — cosa = u sin a.

ce qui donnera

s i n a dx

1 — 'IX cosa -f- x'^

nous écrirons

du f

— 1— cosa

J . I — 2 57 cosa -i- ^2 . /.,

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r sinar/.r , ^

SUR L INTEGRALE / — -• 49^

J ^ I — 2 ^" cos a -i- :rde sorte que, dans le second membre, les deux intégrales représentent les arcs les plus petits, renfermés entre — - et H ? ayant

respectivement pour tangentes les quantités

I — cos a a — I — cos a tu + a = tano - el -. = tans' ■

sina

Or, a étant moindre que tt par hypothèse, la première intégrale

a . 1 1 1 ,, TT + a

sera par conséquent -; mais la seconde aura pour valeur 1 arc — ; —

diminué de tû, c'est-à-dire — ^ — ; nous aurons donc

fi %)■=:. \

^ ^ ' j i — '2x COS a -

' "*' sin a dcc tc

entre les limites indiquées pour la variable a. Maintenant la relation

donne cette conséquence que, entre les limites iz et a-n:, f(cf.) a pour

valeur ? de sorte que nous nous trouvons amené à l'expression

analytique, par une intégrale défniie, d'une fonction discontinue

éeale à -f- - ou — -, selon que la variable est renfermée entre 2 nr:

et (2/14- i)7r, ou entre les limites (a/i — 1)7^ et a/i-n, n étant un nombre quelconque.

On voit donc comment on peut être amené, par les considérations les plus élémentaires du calcul intégral, à la considération si importante en Analyse des fonctions discontinues, et j'ajoute que l'expression en série trigonomé trique de cette fonction particulière qui s'est ainsi offerte se tire facilement de l'intégrale définie.

Il suffit, en effet, d'employer ce développement connu, savoir :

sina H- x sinioL + x'^ sin 3 a -f-, . .H- cc^^-^ sin/ia H--, . . ,

I — '2CC cosa -+- x'^

et d'observer qu'on a

^'^-1 dx — o ou = ~ ■>

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suivant que n est pair ou impair, pour parvenir au résultat que donnerait la formule de Fourier, savoir :

^ , r ^ïnrj. dx I . sinSa sin5a

H'J.)^ I = '1 sma -H — \ h. .

•^ J^ I — ixco^a-^x- \ 3 5

Il serait même possible d'établir la convergence de la série, en

limitant le développement de la fonction à ses n

^ ^ I — 0.x cosa -f- x'^

premiers termes, et considérant le reste qu'on trouvera sous cette forme, savoir :

5?«+i dx

U,i= sin( n + i) a / sm;^a /

J^ I — 2^ cosa -4-^'^ J^ I —