x cosa -t- x

mais je ne m y arrêtera] point.

Une autre intégrale définie élémentaire conduit encore à la même fonction discontinue, c'est celle-ci :

dontla valeur est -^::::::=^ ou -, suivant que la constante a,

qui, en valeur absolue, doit être supposée supérieure à l'unité, est positive ou néerative. Il en résulte, si l'on fait a = -> qu'on a

s in a dx

- 7T ou 71,

(i — ^cosa j y/i — x^

suivant que sina est positif ou négatif; mais celle expression ne diffère pas au fond de celle dont nous venons de nous occuper, elle

s'y ramène en effet par la substitution x = — ^^ qui sert en général

à l'intégration des radicaux de la forme y^i — x~. Sous une forme ou sous l'autre, le passage brusque de /(a) d'une valeur nulie

à H ? ou — -) semble moins caché dans l'intégrale que dans la

série trigonométrique; car, en supposant a infiniment petit, elles oflrent, sous le signe d'intégration, aux infiniment petits près du

second ordre, l'une le facteur ; -? l'autre le facteur -.

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, , r siaa dx

SUR L INTEGRALE j r» 497

J^ [ — 1CU cosoc -+- .r2 '^'^

qui, à la limite supérieure ^ = i, rendent les intégrales infinies; c'est du moins par l'intermédiaire de cette forme, du produit d'une cjuantité infiniment petite par une quantité infiniment grande, que se trouve réalisé le passage brusque d'une valeur nulle à une valeur finie.

Je remarque enfin qu'on a

r'^ cosa(i-+-^^) — '2CÛ r'^ ^f ^ — ce cosa

et l'intésrrale est nulle, ensénéral, puisque la fonction ^

prend la même valeur aux deux limites ; toutefois, pour cosa = dz i , elle est infinie, l'expression à intégrer entre les limites + t et — i

étant -

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