RELATIVE A L'ADDITION DES INTÉGRALES ELLIPTIQUES DE PREMIÈRE ESPÈCE

Bulletin des Sciences mathématiques, t. II (187 1, p. *;>]).

La première construction connue de cette équation et qui a été donnée par Lagrange résulte du rapprochement de la relation

cosama = cosam {x -^ a) cosam^ + sinani(^ -\- a) sinama? A a m a

avec la formule fondamentale de la trigonométrie spliérique. On en déduit aussi une construction plane en posant

X = cosam(^ -h a j, Y = sinam (^ -{- a),

et déterminant les points de rencontre de la droite cosam a = X cosam ^ -t- Y sinam^'A am a

avec le cercle

Cette droite est une tangente à l'ellipse

X \2 /YAam<:

cos am a / \ cos a m a

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CONSTRUCTION GÉOMÉTIllQUE. 499

dont les axes ont pour valeurs

A — cosarna,

cosama .

13 = = siii am ( K — a).

A am a

Ayant donc construit cette ellipse ainsi que le cercle , l'un des points d'intersection aura pour coordonnées

X == cosam(^ -h a ), Y = sinam (.T -H a)

et l'autre, en remarquant que l'équation de la droite ne change point si l'on change a en — a, les quantités

Xo = cosaiïi(^ — «), Yo == si n am ( ^ — a).

On voit donc qu'en menant l'une des deux tangentes à l'ellipse

par le point

Xo=cosatn(a7 — a),

Yo = slnam (^ — a),

cette construction donnera d'abord celui-ci

X = cosam (^ -^- a), Y = sin am (:r -h a ),

puis, en continuant dans le même sens,

Xi = cosam(^ h- 3a), Y i = sin ain (^ -t- 3 a) ;

et, en général, le /i'^me ^^j-^ (^^ polygone inscrit au cercle et circonscrit à l'ellipse conduira à la construction des quantités

cosam [^ 4- ('À/i -\- i)a], sin am [ ^; + ( 2 /i -f- I ) a ] .

En opérant en sens inverse, on trouverait, pour les coordonnées, des sommets, les expressions

cos am [ j: — ( 'Ji /i + i ) a ] , sin am [^ — (2 7^ 4- ijaj.

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5oo OEUVRESDE CHARLES HERMITE.

Ces résultats pourraient, sans doute, se démontrer directement, en déterminant, sur la figure, le rapport des variations des coordonnées des points de rencontre, avec le cercle, de deux tangentes infiniment voisines, mais je ne m'y arrêterai point, m'étant seulement proposé de rapprocher l'une de l'autre deux constructions géométriques de natures bien différentes.

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