OE L V U E S DE C II A II L E S H E II M IT E

fonction z^ quels que soient a et ces n fonctions, sera donc la question analogue à celle qui nous a précédemment conduit à la formation d'une équation différentielle ordinaire d'ordre n.

A cet effet, j'observe en premier lieu que les relations données permettent de considérera et y comme des fonctions de z dont les dérivées successives

, dx " ~ dz'

^ dz^

s'obtiendront, soit directement si l'on peut avoir x ^l y explicitement exprimés en ^, soit par les règles relatives aux fonctions implicites.

Dans ce dernier cas, nous aurons d'abord

puis

\ dx ' ^ dy^ dz

dx dy '^ dz

l d^ ,. d'Si ,. d'^o . d'-o , ,

1 ~-x'-^--J^r-^ — —^x^-\-2-, — —xy

I dx dy dx- dx dy

I d~ cû . d- y) , d-o , d- (£)

I dy'^ ^ dx dz dy dz ^ dz'^

-^x" -\- -— y + -r^x'^^9.- — ~x' y' dx dy '' dx- dx dy *^

dM^ ,,^ d-^ y , d^'h , ^ dM^ ~^ dy'-^^'^ 'd^Tz'^ '^'d^Tdl^ "^^ ~^'

et ainsi de suite.

En second lieu, je remarque que

étant la fonction qui résulte de Télimination du paramètre a, on reproduira identiquement la quantité z si l'on y remplace ^ ety par les valeurs que l'on tire de la résolution des équations (i), car autrement ce serait de deux relations conclure une troisième qui •en serait distincte. D'après cela, et envisageant x et y comme

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ÉLIMINATION DES FONCTIONS ARBITRAIRES. 5o3

fonctions de ;6, la première dérivée de l'identité obtenue donnera l'égalité suivante

dz , dz ,

la seconde et la troisième celles-ci :

dz Tx

dy^

d^z dx'''

'dy

-y-^dy^

~d\z dx-

X X —f- , dx

^ dx-^

dx- dy

"^ ^ dx dy'-

d^z ,3 dy^^

Les quantités x' ^ x\ oiJ" ^ y\ y\ y'" doivent être remplacées par leurs valeurs en fonctions de z^ ou éliminées au moyen des relations (2), (3), En continuant les mêmes calculs jusqu'à la

dérivée d'ordre n, on parviendra à un système de n équations où les dérivées partielles de l'ordre le plus élevé seront évidemment

dx'^ dx'^-^ dy dy'^

et, en y joignant les deux relations proposées, il sera possible

d'effectuer l'élimination du paramètre a et des n fonctions arbi-\

traire s

c'est le résultat cherché, qui est ainsi une équation aux différences partielles d'ordre n. Dans le cas le plus simple de /i = i , lorsqu'il n'existe qu'une seule fonction arbitraire, cette équation aux différences partielles s'obtient immédiatement en résolvant par rapport à a et à A les équations

Ayant en effet

il ne restera plus trace du paramètre ni de la fonction arbitraire

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5o4 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

dans les relations (2) qui deviennent

dx dy dz

dx "

dW , rAF

et le résultat de Félimination àe x' et y' entre ces équations et l'équation (4) est immédiatement donné en égalant à zéro le déterminant

dz d^ dW dx dx dx dz d^ dW dy dy 'dy ^ d^ (M dz dz