ELIMINATION DES FONCTIONS ARBITRAIRES

et, par conséquent, pour l'équation aux différences partielles des surfaces coniques

^dz . . dz

Les surfaces de révolution sont engendrées par la circonférence

ax ^ hy ~\- cz ^= k^ ce qui nous donnera

dz dx

X ~ Xç^

dz

dy

y~ro

z —Zq

et par conséquent l'équation aux différences partielles

dz

-^[a{z — Zq)-~ c{x ~ Xo)]'j- =z tix — xo)— aiy—yo).

Les conoïdes enfin ont pour génératrice la ligne droite

X — mz — jj — a{y — 7^-s— ^)=o, ax -+- by -4- c^ = A ,

qui se meut parallèlement au plan fixe ax -\- by -\- cz ==. o^ et

rencontre la droite

X =^ mz -f-/>,

y =z nz -4- ^ .

L'équation aux différences partielles se présente donc sous la

forme

(^ mz — p) —{nb -^c)—-^na—-^a\

qui devient plus simplement

dz

{x — mz-p)— -^{y — nz — q)— =:o,

lorsque le plan fixe est celui dés xy

5o6 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

III. La Géométrie donne encore d'autres exemples qui conduisent à l'élimination de deux et de trois fonctions arbitraires. Soient, en premier, les équations

X — mz — p T=^ K{z — a), y — nz — q — J^{z — a),

représentant une droite qui rencontre dans toutes les positions la

droite fixe

X =:^ mz -\- p^

y •=: nz -\- q.

Nous trouverons d'abord

x' — k -\~ m, x" = o, et, observant ensuite que

{y — nz — ^)A — {x — mz — yo).B=:o,

nous en conclurons

et, en éliminante-,

(y ~ nz — q)x' — (x — mz — p)y' — fn{ y — q)— Ji{x — p)^

ou bien

vx' — uy' = w,

si l'on pose, pour abréger.

Il =z X — mz — />,

ç = y— nz — q,

w = ni{y — q) — Ji{x — /?).

Ayant d'ailleurs

dz , dx

dz ,

il en résulte ces valeurs

dz

dz

"^^ dz dz ' dx dy

dx dy

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