ÉLIMINATION DES FONCTIONS ARBITRAIRES

et réquation (5) de la page 5o3 donne l'équation aux différences partielles

d^f ^ Y dx^ \ dy J

d'-z l dz \l dz \ d^z i __ éî. V —

"^ dx dy \ dy j \ dy j dy'^- \ dx J

Elle se simplifie si l'on suppose /n = o, p ^= o^ 72 = o, ^ = o, de sorte que la droite fixe soit l'axe des z^ et devient

-J— ^2^-2 —. — — xy -1- -y— y- — o. dx^- dx dy '^ dy'- ^

Les surfaces gauches à plan directeur ayant pour génératrice

la droite

ax -\- h y -f- c^ = a,

parallèle à un plan fixe

ax -h hy -I- c^ = o,

conduisent au calcul suivant.

Nous aurons d'abord

aa7'-(- Z?jK'-r- c — o, ^'— A, puis

de sorte que l'équation (5) devient

d^-z ,„ d-^z dx-^ ' -^dxdy

, , d^z , -' dy'^ ^

étant, les deux relations

ax -\- by' =^ — c,

PTlt

dz , dz , dx dy -^

"" ~ dz dz'

^ ~ , dz dz

dx dy

Hosted by

5o8 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

et l'on en conclut, pour l'équation aux dififérences partielles,

d'^z / dz y d^z / ^ cl^\l ^}±\,^^~^l , ^^^ V — dx""- \ dy 1 dx dy \ ~^ dy ^ ) \ Tïx ^ )~'dy^ \~~dx^) ~~ ^'

Lorsque le plan directeur est le plan des yz^ il faut supposer

Z? =: o, c = o, et l'on a simplement -y-^ == o; résultat évident a

priori^ l'élimination de a donnant pour z un binôme du premier degré en y.

Ce sont enfin les surfaces réglées dont la génératrice a pour équations

qui serviront d'exemple d'élimination de trois fonctions arbitraires. Or, ayant dans ce cas

les équations (5) et (6) de la page 5o3 donnent sur-le-champ

d'-z A'- d'-z A d'-z 'dx""- «2 ' " dx dy a ' dy'^ ~

d^z A^ ,^ d^z A2 ,^ d:^z A dx'"^ a^ ' " dx^ dy a- ' " dx dy'^ a

ie sorte qu'en faisant pour un instant

d^z dxdy ~^|/

^ \dxdy)

d-'-z d^z dx'- dy''-

d-^z dx^

l'équation aux différences partielles du troisième ordre sera

dx'^ dx'^ dy dx dy^'- dy'^ ~

IV. La considération des surfaces enveloppes, où s'offre un mode de génération entièrement différent des précédents, conduit en Analyse à définir une fonction z de ^ et y par deux équations contenant un paramètre variable a et dont l'une est la dérivée de l'autre par rapport à ce paramètre. En désignant de nouveau

Hosted by

ÉLIMINATION DES FONCTIONS ARBITRAIRES. 5og

par A, B, . . . , L, n fonctions arbitraires de a, ces conditions s'expriment ainsi :

(i) /(.^, jK, .^, a, A, B, .0., L)=.o,

, cl f(.T, r, z, a, A, B. . . . , L)

(^^ -^^— Ta ^ ="'

et nous nous proposerons encore de former, entre la fonction et les variables indépendantes, une équation aux différences partielles qni subsiste quelles que soient ces fonctions.

A cet effet, je conçois que œ et y soient déterminés par les équations (i) et (2) en fonction de ^, de manière à avoir toujours les relations obtenues page 5o3

dz , dz ,

dz „ dz ,, d'^ z . d"^ z , , d^ z .

dx dy *^ dx^- dx dy -^ dy^" '^

mais je procéderai diff'éremmentpour calculer les dérivées x' ^=: — ^

y' z=z^, ' ' ', en mettant à profit une circonstance importante qui

s'offre lorsqu'on veut tirer de ces équations les dérivées partielles

-^ et -T- • Diff'érentiant pour cela la première par rapport à x, en cix ^^y

supposant a fonction de x^ y^ z^ il vient df df dz df doL

dx ' dz dx ' (f/a dx '

ou simplement, d'après l'équation (2),

df df dz

dx dz dx '

et l'on obtiendrait de même

dy dz dy

Ornons n'avons plus dans ces relations les dérivées des fonctions arbitraires par rapport au paramètre, et nous en tirerons les quantités cherchées x' ^ y', . . ., exprimées au moyen seulement de

Hosted by

clz A, B, . . ., L, en observant que y-? par exemple, étant une fonction entièrement déterminée de x et y, que j'appellerai pour un moment G(^, y), on aura

dz dx dy ^

d'où l'on voit qu'on devra écrire

, dx I 6/2 z

dz dx^ dx dy

^-^ TTzrrrr.y-^

et pareillement

'\dy) d-^z , d-\

■ly '

dz dx dy dy'^

D'après cela, en représentant les dérivées partielles du premier et du second ordre par />, q^ /', s^ t^ afin d'abréger l'écriture, nous aurons, pour déterminer x' et y' ^ ces deux équations

dx'^ dx dy "^ dx dz

d\f , d-\f , , d^f\ ^ df . ,

dx dz dy dz -^ dz:'- ] '■ dz

dx dy dy'^ dy dz

I d'-f , d-^f , d^f\ df' ,

-H , , ^ + , • y -H — -- )q -H -i-(sx' -h ty') = o; \ dx dz dy dz -^ dz^ / ^ dz^ -^ ^ '

et il est clair qu'en continuant de difFérentier par rapport à ^, on formera de proche en proche les dérivées de x et y jusqu'à un ordre quelconque n — i , avec cette circonstance que les dérivées partielles de z jusqu'à l'ordre n seront introduites dans leurs expressions. Il en résulte qu'en les substituant dans les relations (4), (5), (6), ...,dela page 5o3, on sera conduit à un système de ]^ éc[uations entre ces dérivées partielles et les quantités a. A, B, . . ., L. Nous pouvons donc, en y joignant celles-ci,

fix.y, s, a, A, B, ..., L)= o,

df df df df

dy dz ^ dy dz -^