IK

sin- a m - ( K -f

-ili')

sin'-^ coam r (K -

• iii' )

sin2 coam ô" ( ^ '

■iK')

Les formules relatives aux racines A donnent lieu à des résultats entièrement semblables, et, quant aux formules (4), je me bornerai à remarquer que, les deux modules

Vs^

et

Vs^

étant réciproques, elles sont identiques au fond avec les formules (5) et peuvent s'y ramener parla substitution de ■ à w.

Je ne m'arrêterai pas non plus aux relations qui existent entre les racines de chacune des équations

et auxquelles conduisent aisément les expressions que nous avons données. Seulement j'observerai que ces équations, comme celles de la théorie des fonctions elliptiques que j'ai employées, n'appartiennent pas au type d'irrationnalités le plus complexe de

Hosted by

l'équation générale du quatrième degré. Effectivement, si l'on considère à leur égard l'équation en V de Galois, dont le degré distingue et caractérise d'une manière si précise ce qu'on peut appeler les divers ordres d^ irrationnalités , on la trouve seulement du douzième degré, tandis que dans le cas général elle est nécessairement du vingt-quatrième. Il existe donc pour ces équations des fonctions non symétriques, exprimables rationnellement par les coefficients, et le type de ces fonctions est donné très simplement par le produit des cinq différences des racines. De là découlent, pour la théorie des fonctions elliptiques, d'importantes conséquences, se résumant dans ce fait : que le produit de deux fonctions ç^(co) et '}(oj) est Le cube dhine nouvelle fonction également bien déterminée. Une formule depuis longtemps obtenue par Jacobi \Fundamenta, § 36, équat. (4)] donnait déjà, il est vrai, la notion de cette nouvelle transcendante, mais sans conduire à aucune de ses propriétés, que je vais indiquer succinctement en terminant cette Note. Et d'abord je la définirai par l'équation

X(co)=.'v/2'v/^(i-^)(H-^^)(i-^^)(n-^^)...,

en faisant toujours q = e''^^, de sorte que, relativement à co, on obtienne une expression entièrement déterminée. Gela posé, on aura ces relations qui se démontrent immédiatement, savoir :

Voici maintenant celles qui se rapportent aux substitutions de

la forme -, — , a, 6, c, d étant des nombres entiers assujettis à

la condition ad — Z>c = i , et qu'il importait surtout d'obtenir. Distinguant, ainsi que je l'ai déjà fait dans une circonstance toute semblable, ces substitutions en six classes [i;o^Vma Note sur l'équation du cinquième degré (*)], et posant, pour abréger.

(^) Page 8 de ce Volume. E. P.

Hosted by

c -h diii \ , ,, / 2

a -h- boù I ^ ^'^ V <^<^

Les symboles ( - ) ? ( r ) indiquent, suivant l'asage, le caractère

quadratique du dénominateur par rapport au nombre 2.

J'espère pouvoir présenter dans une autre occasion les conséquences de ces théorèmes pour l'Arithmétique.

Hosted by