DEUXIÈME SERIE
(ij 0,9)2(2, I, 5)i
(i,o,/,o)(5,o, 8)(4,2,ii),
Ar= 21
S-li2
A'r=Il2
(i, 0, 120) (3, 0, 40) (5, 0, 24) (8. 0, j5)i (II, 1,11)2(4,2, 30(8,4, 17)1(12,6,13)1
Tù
(i, 0, 208) (2, 0, io4) (4, 0, 52) (8, 0, 26)1
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5 4 OE U V R i: s D ]^ C II A R L E S II J^ R i\I I T E .
Vï.
Une conséquence importante des résultats précédemment exposés consiste en ce que tontes les valeursde ^^^= cp8(cjL)) qui font acquérir des racines doubles à l'équation modulaire, représentent également des modules de fonctions elliptiques poiu^ lesquelles a lieu la multiplication complexe. Nous avons vu en effet que la quantité co dépendait de la relation
A oj2 f- 2 B oj -{- G = 0 ,
(A, B, C) étant une forme quadratique de déterminant négatif, ce qui est précisément le caractère essentiel de ces modules. Je vais donc présenter à l'égard des équations algébricjues qui servent à les déterminer les remarques auxquelles j'ai été naturellement amené par les recherches précédentes, et qui serviront de complément aux théorèmes fondamentaux déjà donnés sur ce sujet par M. Kronecker.
Voici d'abord un choix particulier dont je conviendrai pour les formes destinées à représenter les diverses classes quadratiques qui appartiennent au même déterminant. En désignant ces formes par (A, B, C) et faisant A = AC — B-, je siipposerai, ce qui est toujours possible, que C soit pair et A impair, de sorte que dans le groupe proprement primitif (^) on aura, suivant que
A ^ I (mod4), B et ~ G impairs ;
A^2(mod4), B pair et - G impair;
A ^ — T(mod4), B impair et G multiple de 4-
En second lieu, et pour ce qui concerne le groupe improprement primitif, il ne sera posé aucune condition lorsque A ^ 3 (mod 8) ; mais, dans le cas de A ^ — i (mod 8), nous prendrons G impairement pair. Les formes ainsi choisies, et que nous garderons désormais pour représenter les classes, jouissent de cette pro-
(^) Comptes rendus, p. 9^7 et § I du présent Mémoire.
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TUÉOUlh] DES ÉQUATIONS MODULAIRIiS. 55
priété de conserver les mêmes caractères dans toutes leurs transformées par des substitutions au déterminant iiii^ x = aX -f- [3 Y, )^ = ^/X + oY, où |3 est pair, a et o impairs. Gela posé, si l'on détermine co en faisant
A oj- -4- '2 B oj -!- C =■ o,
(A, B, G) représentant successivement toutes les classes du groupe proprement primitif et de même déterminant — A, les diverses quantités ^ = cû^(co) seront racines d'une équation qui sera réciproque, dont le degré sera double du nombre des classes et dont les coefficients seront entiers, en supposant celui de la puissance la plus élevée de x égal à l'unité.
En second lieu, et à l'égard du groupe improprement primitif, on obtiendra comme précédemment une équation réciproque dont le degré sera encore le double du nombre des classes^ mais avec une puissance de i pour coefiiclent du premier terme lorsque A^ — I (mod (S). Enfin, si l'on suppose A e^ 3 (mod 8), le degré sera six fois le nombre des classes, et tous les coefficients entiers, celui du premier terme étant l'unité.
Voici maintenant la méthode par laquelle on peut obtenir ces équations dans tous les cas.
Gonvenons, pour mettre en évidence le déterminant des formes <|uadratiques dont elles dépendent principalement, de les désigner par
F, (^', A) = o lorsque A = i (mod/i ),
Fo ( .^, A ) = o lorsque A = 2 ( mod 4 ),
le groupe proprement primitif existant seul pour ces deux déterminants. Dans ]es cas suivants, ce sont les équations qui répondent aux formes du groupe improprement primitif qu'il convient de considérer, et nous les désignerons par
cîi(^, A) = o lorsque A e^ 3 (mod 8), rTo ( :?^, A ) — o lorsque A es — i ( mod 8 ).
Gela posé, soit %{v^ a) == o l'équation modulaire pour la transfor-
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malion qui se .rapporte à un nombre impair n quelconque. En joignant à cette équation celles-ci :
on en déduira quatre équations en x, dont les premiers membres présenteront cette propriété remarquable d'être le produit de facteurs qui seront respectivement de la forme :
1° Fi f^, A) \ i 9.11 — \^ '111 — 9, 2;i — ^' 25, . . . ,
/ ' VA avant les valeurs < ,fi(^, A) " ] 4/i- r, 4/^ — 95 4>'i — 23,
4" X et <-J'2(a^, A) 1 \ 8/i — r, 8 7Z — 9, 8/i — 20, ... .
il en résulte que les poljnomes F^ (x, A), Fo(^, A), §{{x^ A), .^2(^7 A) s'obtiennent en déterminant le plus grand commun diviseur entre les premiers membres de deux des équations que nous venons de considérer^ et répondant à deux valeurs de /i, qui seront successiNcment :
p et p étant impairs ;
- ■> p et p' étant pairs ;
3° ^1 J1 , " ' ^ , p et p' étant impairs;
Ah- p2 A-4-p'2 ^ , . .
4 • r^— ? TT^ — ' P 6^^ P étant niipan-s.
Voici ensuite comment, sans changer leur degré, on déduira des deux équations §^ (^, A) =-- o, 5'2(^, A) = o, qui se rapportent au groupe improprement primitif, celles qui correspondent au groupe proprement primitif. Dans les deux cas on calculera d'abord Ja
transformée de degré sous-double en :? = y lx-\-i-\ j ? puis on
-4- Cji
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y remplacera z par ( ~ 1 ? ce qui ramènera au degré primitif ( ^ ).
Enfin, pour passer des équations relatives au déterminant — A à celles qui concernent le déterminant — • 4 A, on fera dans l'équation qui appartient au groupe proprement primitif de formes de déterminant — A la substitution
Wr
Et, si l'on représente les classes de déterminant — 4^? dont les trois termes ne sont pas pairs en même temps, par des formes (A, B, G), où G soit pair, A impair, en posant
A ca^ -f- 2 B co -t- G = G,
les quantités (^^(io) seront précisément les racines de l'équation en y. Elle est d'ailleurs évidemment d'un degré double de l'équation en ^, de même que le nombre des classes de déterminant — 4^7 dont il vient d'être question, est double du nombre des classes de détermiuant — A. L'application plusieurs fois répétée de ce procédé suffirait à donner les équations qui se rapportent ^aux déterminants multiples d'une puissance de 4- Mais ici il convient de distinguer ceux qui sont le quadruple d'un nombre impair de ceux qui sont multiples de 8. G' est aux premiers que s'applique spécialement la méthode qui vient d'être indiquée; et dorénavant les équations qui leur correspondent seront désignées par F^(x^ A)=:o. En représentant par ¥^(Xj A) == o celles qui concernent les déterminants multiples de 8, on a en effet cette proposition que le premier membre de l'équation en x qui résulte du système
(;2 , pi i ]
analogue à ceux qui ont été considérés tout à l'heure, est le produit de facteurs de la forme Yi^^x^ A), A prenant la suite des valeurs ^{n — i), ^{n — 9), /\.{n — 2 5), etc. Je n'insiste pas en ce moment sur les conséquences à déduire de là, non plus que sur
(^) Ce calcul présente, à l'égard de l'équation ^\^{x^ A) = 0, la circonstance remarquable que le coefficient de la puissance la plus élevée de x, qui était une puissance de 2, devient dans l'équation transformée égal à Tunité.
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])eaucoup de questions importantes pour la théorie des formes quadratiques auxquelles conduisent les résultats précédents (^), et je me bornerai à remarquer, que des propositions énoncées sur les réunions d'ordres nommées groupes proprement et improprement primitifs^ on conchit immédiatement les suivantes :
Ayant représenté le système des classes de Fordre proprement primitif pour un déterminant quelconque par des formes (A, B, G), oit G est pair^ A impair, les quantités ^^^ [iù)^ en définissant w par les relations Aco--|- 280) + G = o, sont racines cV une écjuation réciproque à coefficients entiers dont le degré est précisément double du nombre des classes.
Et de même, si l'on représente les classes de V ordre improprement primitif de déterminant A^ — i (mod 8) par des formes (A, B, G), ou G est impaire ment pair, on obtiendra une équation réciprocjue dont le degré sera encore double du nombre des classes.
Mais pour V ordre improprement primitif de déterminant ^ 3 (mod 8)^ le degré est six fois le nombre des classes.
On peut enfin supposer égal à V unité le coefficient du premier terme dans ces équations, sauf pour celles cjui répondent à V ordre impi'oprement primitif , oii il est une puissance de 2 lorsque A ^ — i (mod 8).
La principale propriété du polynôme cfi (.r, A) consiste en ce qu'il se décompose en facteurs du sixième degré de cette forme remarquable
de sorte que la substitution j)/ == ^ ' / ramène l'équation
^\{x., A) = o à un degré précisément égal au nombre des classes improprement primitives de déterminant — A. Gela résulte de ce cju'on peut réunir les racines en groupes, où elles sont représentées
(^) En particulier pour les sommations analogues à celles qui ont été données pour la première fois par M. Kronecker.
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c -\- diù \
par l'expression cp^ ( ^ j ? «, b^ c, cl étant des nombres entiers
quelconques, tels que ad — bc =z } . Or, en faisant cp8(co)=G, cette expression représente les six valeurs distinctes
et telles seront les racines de l'équation
{x- — a? 4-i)^-f- a(:r2 — xy= o,
car on vérifie immédiatement qu'elle reste la même quand on y remplace x par - ? i — ^, et dès lors par les substitutions composées de celles-là, savoir ? — - — , D'ailleurs, p étant seul
