T — XX — I X
arbitraire, cette équation, qui contient une indéterminée a, aura bien la forme analytique la plus générale. Elle se présente au reste d'elle-même, en recherchant dans les cas les plus simples le polynôme rf| (^, A). Partons, par exemple, des équations modulaires pour /i =: 3 et 7Z = 5, auxquelles on doit joindre, d'après ce qui a été dit :
Parmi les diverses formes dont elles sont susceptibles, je choisirai celles que Jacobi obtient en faisant ^r = i — 2/1-, 1= i — 2 A-, savoir :
(q - Z)^- 64(1 - q^ii - /^K3 -H ql),
En effet, ces quantités s'obtiennent immédiatement en ^, et en sjjibstituant les valeurs
r/ = I — 'IX, L — •>
d'où
la première équation donne
et la seconde
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Le facteur commun aux deux cas répond à A =: 1 1 , et les autres aux déterminants — 3, + 19. Pour A =27, on trouverait
En général, lorsque l'ordre improprement primitif de déterminant — ^A sera formé de la seule classe ( 2, i, )? a sera nn
nombre entier qu'on pourra calculer en exprimant que l'équation est vérifiée pour
X = Cp8( CO),
OU d'après la condition
2 tu^ -h '2 CO H =0, (JJ =
Soit donc q = e^'^^'^^ on trouvera, en employant l'expression de Jacobi,
\/kk = v/'2 . V q ^— ^ ,
cette valeur où n'entre que g- :
et, par suite, en remarquant que ^-= — e~^^^^
O.S. a =z gWA 744.
Or, depuis A=:iq, les termes de la série, à partir du troisième, n'influent plus sur la partie entière, de sorte qu'on a exactement, en désignant par a le nombre entier immédiatement supérieur
D'ailleurs ces termes négligés décroissent avec une grande rapidité lorsque A augmente ; il en résulte que la transcendante numérique e^^^ approche alors extrêmement d'un nombre entier. Soit, par exemple, A=:43, qtii donne une seule classe improprement primitive, on trouve
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et a = 2'o.3^.53. Les déterminants — 67 et — i63 sont dans le même cas, de sorte que, dans la quantité ^Wtcs^ \^ partie décimale commencerait par une suite de douze chiffres égaux à 9.
L'étude des fonctions Fi (a:^ A) et F2(^, A), qui se présentent avec les mêmes propriétés, conduit à des résultats analogues à ceux que nous venons d'indiquer relativement à 5= ^ (^, A), tandis que ^2{^', A), qui correspond à Tordre improprement primitif des classes de déterminant — A, dans le cas de A^ — i(mod8), semble devoir rester entièrement en dehors de cette analogie. Réservant pour un autre moment Tétude de cette fonction, je me bornerai maintenant aux résultats qui concernent les deux premières, et dont voici la principale propriété :
Si l'on excepte les cas de A = i , A = 2, l'ensemble de leurs racines peut être décomposé en groupes, qui chacun en comprennent quatre que l'on peut représenter ainsi :
Il s'ensuit qu'elles sont décomposables en facteurs du quatrième de erré de cette forme
(x -H 1)^ -f- ax(x — 1)2, et qu'on peut ramener les deux équations
Fi(^, A) = o, F2(^, A) = 0
à un degré quatre fois moindre, moitié par conséquent du nombre des classes de déterminant — A, par la substitution
Les considérations arithmétiques qui conduisent à ce résultat montrent en même temps que le nombre des classes de déterminant— A est toujours pair lorsque A ^ i ou ^ 2 (mod4), sauf les
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6'2 OE U V R L S DE G H A II L E S II E R IW I T i: .
exceptions ci-dessus mentionnées de A = i, An=2. S'il se réduit à deux, a sera un nombre entier, qu'on pourra calculer comme il suit :
i" A z^ i (mocl /[').
Les deux classes sont alors représentées par les formes réduites
et la première donne l'équation
(i, o, A)2 = o, d'où
Lu = \ -\- i y/Â .
Il suffit donc d'exprimer que
(.V -h ly- -\- a ce (ce — i)- = o
a lieu pour
cr = cp8((o),
ce qui donne, en faisant q = ^^'^w^
167. — — ( — 1- 104 H- 4 372^ H- 96 'ijQq^- -h. . . L et par suite comme, d'après la valeur de co, q = — <3 WA^
/-r , 4 37*2 qG 256
Or depuis A =: 9, on peut se borner aux deux premiers termes de cette suite, et, si l'on désigne par a le nombre entier immédiatement supérieur à e'^^^j on aura exactement
Les déterminants, qui ne donnent ainsi que deux classes dans
l'ordre primitif et auxquels on pourra appliquer cette formule,
sont
— 5, — 9, — i3, — 25, —37, etc.
Par la métliode algébrique indiquée dans un précédent article
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TIIÉ0R11<: DES ÉQUATIONS MODULAlRi:S. 63
(voyez Comptes rendus, t. XLVIIl, p. ioq-j et § Vïl du présent Mémoire), on obtient les résultats suivants que ] 'emploi de la formule pourra servir à vérifier, savoir :
{x -J- i)'' -h 5.3'''. '1' x{x — i)2 =: o A = gi5.
'2*^ A E^ '2 ( mod 4)-
Les deux classes, qu'on suppose seules exister, sont représentées par les formes
à la première correspond la valeur
co = i y/ A, d'où ___
et, tout à fait comme précédemment, on est conduit à l'expression
y e7r/A e27Tv/A
En désignant encore par a le nombre entier immédiatement supérieur à (3'^\/^, on aura la formule
qui sera applicable à partir de A = lo.
Les déterminants qui ne fournissent que deux classes dans l'ordre primitif seront
— 6, — 10, — 18, — 22, — 58, eLc;
si on les joint aux précédents, ainsi qu'à ceux dont il a déjà été question à propos du polynôme §^ (x. A), on aura autant de cas dans lesquels la quantité e^v^A approche d'autant plus d'un nombre entier cjue A sera plus grand; ainsi, par exemple, dans la quantité guv/!5 8 i^ partie décimale commence par neuf cliifFres égaux à 9.
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Voici les équations auxquelles on parvient, comme on va le voir, par la méthode algébrique générale, savoir :
{x -H i)''" — 5-. '2-. ,r ix — ly- — o A — lo,
(^-hi)'»- — -2.'2'^c'r \x — i)"^ — o A = i8,
{x -{- i)^ — 11^. S'"-. 2^-.r(.-r — I )2 — o A = 'ri.
On remarquera que le coefficient numérique — a est toujours un carré divisible par A, sauf le cas du déterminant — i8, le seul C[ui, n^étant pas le double d'un nombre premier, ne renferme cependant que deux classes dans l'ordre primitif. Mais, lorsqu'on a A ^ 1 (mod/t), c'est la quantité aH- i6 qui contient A en facteur lorsqu'il est un nombre premier, et le quotient — - — se présente toujours comme égal à un carré. La même circonstance se remarque dans les équations
{x^- — x -\- [)^ -f- a(a72 — xf- — o;
à l'égard de la quantité zf^- +■ S'y ( ' ), qui est également le produit de A par un carré, lorsque A est un nombre premier.
Le calcul des polynômes F^ (.3?, A) et Fo(.2^, A) repose, comme il a été dit, sur la formation de l'équation qui résulte du système
OU
( ^) L'identité 4[(^- — ^ H-i)3 H- a(^^ — ^)-] = ( 2^^^ ~ 3 ^- — 3^7 -H 2)2 + (4a H- 27 ) (^- — ^)2
en montre l'origine et donne en même temps une résolution facile des équations
^)'^(^, A) =:: 0, lorsqu'elles sont du 6* degré.
THEORIE DES EQUATIONS MODULAIRES. hi)
en faisant u^ =z a: (^). Les quantités A, qui répondent dans les deux cas aux valeurs de /zpour lesquelles on possède Téquation modulaire, sont indiquées dans ce Tableau :
(mo
'Ci4)-
( mod j
ri
On j remarque que /?. = i i conduit à trois déterminants = 2 (mod 4)j auxquels correspondent seulement deux classes dans l'ordre primitif, le déterminant — i 8 fournissant en outre une classe dérivée de (i, o, 2). Ce cas donnera donc les polynômes F2(^, A) pour les valeurs A ::= 2, 6, j8, 22, et nous le choisirons comme exemple de la marche qu'on peut suivre dans ce genre de calcul.
J'observe à cet effet qu'en disposant dans un ordre convenable les termes de l'équation donnée par M. Sohnke, on peut l'écrire
ç'^'^ — u^^ --f- 44 ^^° ^^ ( ^^' — ^^'' ) + 1 65 lû v'^ ( p^- — u'^' )
-H44iz2(;2((;V ii-V) | 32(;Hpll __.22^^3(;3(pS ^ ^^8 ) u 88 W» P^ H- l'^'llO V^ — l32 W*^ (•'^ — 88 W^ P'^ -t- 22 Zip (pS ^ ^^8) 32 Zip = 0,
ou bien, en mettant en évidence le facteur ^^'' — u\
-4-32 tt^^P^^ — 22 ti^P^(p^ -h U^) + 88 Zt^P^ -f- i32 tt^p"
— I 32 î^^ P^ — 88 U^ p3 4- 22 UV ( p8 -H 1^8 ^ „ ^.2 ti^; — o.
( ^ ) Le système
fd{v, u) — o^
donne aussi une équation en ^ dont le premier membre est le produit de facteurs qui sont tous de la forme Fi(^, A) ou ^2^^^ ^)- ^^^ premier cas a lien lorsque le nombre n, qui désigne l'ordre de la transformation à laquelle se rapporte l'équation modulaire, est = i (mod 4), et alors
p étant impair. Si n^^ — i (mod 4), ce sont les facteurs ^^{x, A) qui se prés.enteni, A étant encoi'c n — f-, mais p devant être supposé pair.
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66 OEuvuKS Di: charles heu mite.
Or en faisant ui^ = (^, la relation
donne
(;4 jrY,4 == \/ [ 6 «^* -f- (V^ ;
de sorte qu'on peut immédiatement déduire de l'équation modulaire une relation contenant seulement cv, savoir :
\/i — 6 (p'" -h (P^ ( iv^ H- 44 wf^*^ -i- I C)'2 (^p* -\- 44 (P^ 4 x)
-i- 1 O (IP ( (V^O -H II (pS -H 22 W^' — 22 (P^ — 1 T PP- l) =^ O.
Or, en faisant disparaître le radical on parvient à une équation réciproque en (p-, ce qui conduit à poser
et l'on trouve ainsi
(^2 8)(52^44^| |5o)^— 100(> — 2)(xj2-!-12 5-4- 32)2 = o
ou
Maintenant nous observerons qu'en faisant u^ = x, on a
(P-f = \^l X —-z et w^ H __ 9. = -— -—
