I -\- \lx ^'^'"'' \/ x{x — l
Ainsi l'expression ^—— — -— dont il a été déjà parlé comme entrant essentiellement dans la composition des équations que nous voulons obtenir, se présente ici d'elle-même, et, puisque
la quantité a sera liée à z par cette relation très simple
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Il en résulte que l'équation en x est le produit des facteurs suivants :
et
le dernier, qui répond à la valeur la plus élevée de A, étant le seul qui n'entre pas au carré, car
Et, comme ils sont écrits en suivant l'ordre des valeurs croissantes de la quantité a, ils correspondent respectivement àA = 2,6,i8,22, puisque, abstraction faite du signe, a augmente avec A d'après la relation
i6a = — (e^^^'^-i- To4-h.. J.
Le polynôme "è'-^i^x^ A), dans le cas le plus simple où l'on a A = -y, s'obtient immédiatement par les équations fondamentales
en supposant \^ =: w, et supprimant dans le résultat le facteur x. On trouve ainsi l'équation
Pour les valeurs suivantes de A, le calcul devient plus difficile, et c'est en recourant à des méthodes particulières que le P. Joubert, dans un travail important sur le discriminant des équations en
U = s/M' et y = v/XV,
a réussi à obtenir ces polynômes pour A = i5, 28, 3i. Je me bornerai à donner l'idée de ces procédés et des méthodes variées qu'on peut suivre dans ces recherches en considérant le cas de A = i 5.
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Alors on a, clans l'ordre improprement primitif, deux formes conduisant aux équations types
et, si l'on fait pour un instant
(4, f, 4)z:=0 OU 2 0)2 -i- W -H 2 = O Ct ^ = 'J^ ((jù) ^^ (uû),
on trouvera très aisément l'équation en Ç, en remarquant qu'on
peut écrire
d'où
t}; ( 'A (0 -4- f ; = 4; ( ~ - ) =0 et, par suite, en élevant à la puissance quatrième,
j | tj;4 c (jQ ) .20- (lu)
Comme on a d'ailleurs
[cp^(a))-l-tl;^(0))]2 = H-2^2^
on trouvera
n-r- + v/TT7^-4^, ce qui donne
Le facteur du second degré convient seul, et l'on en tire l'équation en x^ en remarquant qu'on doit supposer
' ^ ^ cp«(w) — I
de sorte qu'on aura
et, par suite,
Cette équation, conformément à ce qu'on a dit en général, a pour coefficient de x'^ une puissance de 2, et la forme particulière sous laquelle elle se présente permettra d'en déduire très facilement la transformée, qui correspond à l'ordre proprement pri-
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mitif ( ^ ), saA^oir :
et de vérifier ainsi que clans cette transformée le coefficient de la puissance de x redevient égal à l'unité.
Nous possédons maintenant tous les éléments qui figurent dans le discriminant de l'équation modulaire du 12^ degré, qui sont les facteurs relatifs à l'ordre improprement primitif de déterminant — ^j\ et à l'ordre primitif de déterminant — 24. Le premier, comme on vient de le trouver, est 16^- — 3 i ^ -h 16. Le second doit être tiré de l'équation
qui correspond au déterminant — 6, en y remplaçant x par
l\sjx
et faisant disparaître \l x par l'élévation au carré. On trouve ainsi l'expression
x'^ — 3oi 960:^"^ -I- 3 55o 492^*^ — 2 178 232^^7^ — • I 092 026^^
— 2 178 232^3 | 3 55o 492372 — 3oi 96037 -4- I == o;
ce qui conduit au résultat déjà donné, et qu'il eût été bien difficile, comme on voit, de tirer algébriquement de l'équation modulaire. Il ne me reste plus, pour terminer cette partie de mes recherches, qu'à indiquer un moyen de le vérifier, ce qui sera l'objet d'un prochain article.
En désignant par D le produit des carrés des différences des racines de l'équation modulaire ©(p', ?^) = o de degré /i + i , lors-
(^) Voyez Comptes rendus, t. XLVIII, p. 1098 et § VII du préscnl Mémoire.
qu'on suppose n un nombre premier, faisons, pour un instant.
Celle expression sera non seulement rationnelle et entière en u^ puisque D est un carré parfait, mais les coefficients des diverses puissances de u seront eux-mêmes dos nombres entiers. Or, en remplaçant ces puissances par leurs expressions sous forme de séries infinies en fonction de q =i e\'^^^ on parvient à un résultat dont la valeur, par rapport au module premier /i, s'obtient comme il suit.
Faisons
et, par conséquent,
?/^ =^ cp(co) =. \/a\/^/(^),
on aura cette congruence
mod/z,
dans laquelle le coefficient de la puissance la moins élevée de q a été conservé sans addition ni suppression de multiples de /?., ce qui permet de déterminer le facteur numérique qui doit être joint aux divers polynômes en u^ que maintenant nous connaissons dans les cas de /^ ==: 3, 5,7, ii, afin d'obtenir précisément la valeur de CD. Ce facteur, comme on voit, est toujours une puissance de 2 ; ainsi, dans le cas de /?.==: i i , on aura
On pourrait aussi présenter le second membre de la congruence précédente sous cette autre forme
mais c'est la première qu'il convient d'employer pour vérifier,
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comme nous ravoiis annoncé, le discriminant de Téqualion modulaire du douzième degré. Je remarque à cet efïet que le polynôme
j — 3oi 960 u^ -- 3 556 49'-i ^f^^^ -^- • •
se réduit suivant le module i i à cette expression simple
•et qu'on trouvera par suite
(D EEE u^(i-h 3 a^ — 3 II'-' — 3 u'^- -f- lû^ -î- . . . ) ( mod i i ).
Maintenant, si l'on met à la place des diverses puissances de lc leurs développements en fonctions de ^, il viendra
cD =.(v/2{/^)'^'(ï — 'iq -i- icf -f- 3^3 |4^4.| 3^^o f^. . .).
Or, c'est précisément le résultat auquel conduit la congruence, en faisant les développements indiqués, d'où résulte la vérification que nous désirions obtenir.
C'est à ce point que je me suis arrêté jusqu'ici dans l'étude des équations modulaires, et il ne me reste plus, en considérant en particulier celles du sixième, du huitième et du douzième degré, qu'à donner la méthode que j'ai suivie pour en déduire des réduites d'un degré moindre d'une unité. Galois, ainsi que je l'ai déjà dit au commencement de ces recherches, a le premier découvert le fait si remarquable de cette réduction, au double point de vue de la théorie des fonctions elliptiques et de l'Algèbre, et voici, dans ses idées, le théorème qui sert de principe fondamental.
Remarquons préalablement que les racines de l'éqnation modulaire sont représentées par
ç — u'^[s\n coam 2 p sin coain 4p- • • sin coain(/i — 0 ?] '
en faisant
m K -f- m' ili:'
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OE U V 11 E s DE CHARLES II E R M 1 T E .
OÙ m et m' sont deux nombi^es entiers qu'on peut multiplier par Lin même facteur sans changer la valeur de (\ Il en résulte que c'est
uniquement le rapport — • qui définit chaque racine, et, comme le
deux termes sont pris suivant le module /z, il reçoit d'une part la valeur oo pour m ^ o, et de l'autre la série des n nombres entiers o, 1, 2, ..., n — T . On est donc conduit naturellement, pour représenter les racines de l'équation modulaire, à la notation (^/^, A" désignant — et devant représenter les /i + i valeurs oo, o, i, 2, . . ., Il — I . Cela posé, voici la proposition de Galois :
Toute fonction rationnelle non symétrique des racines ^u qui ne change pas en remplaçant les divers indices k par
—^ -,i a, h. c, cl étant des nombres entiers pris sui\^ant le mo-
dule net le déterminant ad — ■ cb n étant pas ^o (^), sera exprimable en fonction rationnelle de u (^).
J'ajouterai la remarque que ce théorème subsiste en particulari-
1 1 • • ak -^ b . . , 7 7 • f • 1
sant la substitution — .? de manière crue ad — bc soit résidu
ck -h cl ^
(juadratiqiie de /?, pourvu qu'on s'adjoigne le radical
Tel est, par exemple, le produit des différences des racines n((^A — ^Vi')? qLii change de signe ou se reproduit exactement,
lorsQu'en remplaçant k par -7^^ ,y ad — bc est non résidu ou ré-
^ ^ " ^ ck -^ d
sidu quadratique de /?, et qui s'exprime, comme on l'a vu au paragraphe XIll, par une fonction rationnelle de u à coefficients entiers, mais affectée du facteur
En effet, nommant F et F^ les deux valeurs que' peut prendre une
(^) M. Serret a fait clcs substitutions de cette forme l'objet de ses recherches dans plusieurs articles publiés dans les Comptes rendus, t. XLVITI, séances des 10, 17, et 24 janvier 1859.
(-) Une démonstration de ce théorème important a été donnée par le P. Joubert dans un travail que j"ai déjà cité {Comptes rendus, t. XLVI, p. 718).
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fonction rationnelle des racines invariable par les substitutions où
ad — hc est résidu, les deux expressions F -|- F^, —7 r reste-
ront invariables pour la totalité des substitutions, et s'exprimeront rationnellement en u^ d'après la proposition de Galois ; il en résulte que F et F^ s'exprimeront elles-mêmes sous la forme annoncée.
Ce point essentiel établi, la question de l'abaissement des équations modulaires à un degré moindre d'une unité dépend d'une
étude plus approfondie des substitutions -jr~~j'> ^^ dont quelques
traces seulement subsistent dans ce qui nous a été conservé des travaux de Galois. C'est en suivant la voie qu'elles indiquent que M. Betti a retrouvé l'importante proposition relative aux équations du sixième, du huitième et du douzième degré, et l'extrait suivant d'une Lettre que m'a fait l'honneur de m'adresser ce savant géomètre montrera comment de cette manière se présentent les résultats auxquels de mon côté je parvenais par une méthode toute différente :
« Pi se, 24 mars 1839.
)) Dans un Mémoire Sopra V ah as s a ment 0 delV equazioniinodalari, publié en i853 dans les Annali di TortoUni, j'ai fait l'étude des substitutions
ak -\- b
ck -{- d
pour démontrer la possibilité de l'abaissement des équations modulaires, et j'ai obtenu Jes résultats que vous me communiquez dans votre Lettre.
» Voici pour le module premier 72 =: 4/^ + 3 les expressions que j'ai trouvées alors pour la décomposition en n groupes du groupe dont toutes les substitutions sont données par la forme (i) où ad — hc est résidu de n.
)) Si g est une racine primitive de /z, jouissant de cette propriété que, g — I étant résidu de 72, les puissances impaires <in — 2 de g vérifient la congruence
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(ce qui n'arrive que pour /^ = 'y, m), on aura, si l'on fait
un groupe [/r, 9(/i)] de — ^- — ^- ~ suJosti talions de la forme (i)
telles, qu'en faisant sur ce groupe les substitutions ( /r, k + i) on obtient n groupes, dont l'ensemble est le groupe proposé.
» Or si /z = '^ on a deux racines primitives ^' =i 3, i^" = 5 ; 5 — i est résidu de 'y et les deux puissances impaires de 5 inférieures à 5, c'est-à-dire 5,5'^ vérifient la congru eue e
(2^2 i 2^ j i) (^ /j^2 | ^ i i) = o (mod 7).
» Donc, lorsque /i = 7, on a deux systèmes de valeurs pour Q(/f), à savoir :
en prenant ^=^3, et
c.,;, k-^ib k-\~b —a
■ \ k -^ b k ^ 'ib k
en prenant g = 5, a et b désignant des résidus de 7.
)) Si /i r= I I ^ on a quatre racines primitives : 2, 6, 7, 8 ; 2 — i est résidu de i i et les puissances de 2, impaires et inférieures à 9, vérifient la congru ence
(4a^2 — Qj; ^ ij (/^^2 — 3^. L ,) === o (mod 1 1).
De même, 6 — i est résidu de 1 1 et les puissances de 6 impaires et inférieures à 9 vérifient la congruence
(3.r- H- 2^ H- i)-(3x^ H- ^107 -f- 1) EEE o (mod 11). )) Or, si l'on prend ^ " = 2, a et b résidus de 11, on aura
k — oj) k — b —a
{j(k)^a- j- ? — a -j rj ak, —, — ?
k — b k — ib ' k
et, si l'on prend g = 6,
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THEORIE DES EQUATIONS MODULAIRES. 73
» Les racines primitives 7 et 8 ne jouissent pas de la propriété de rendre g — i résidu de 11, et la congruence lorsqu'on j fait g ^=. ^, 8 n'est pas satisfaite par les puissances de 'j et 8 impaires €t inférieures à 9.
)) Les substitutions 9(A"), 3(/c) jouissent de la propriété d'être à lettres conjointes, c'est-à-dire qu'en divisant les lettres en systèmes de deux lettres chacune de la manière suivante :
toute substitution 9 (A"), ^(A^), ou échange entre elles les lettres d'un système, ou change un système dans un autre.
» Dans le cas de 11 = ^ j'avais obtenu des résultats semblables aux précédents et formé un groupe de douze permutations en considérant les trois substitutions
et celles qu'on en déduit en les composant entre elles. ...»
C'est sous un point de vue bien différent que je vais maintenant traiter les mêmes questions. Ainsi, laissant de côté toute considération relative aux décompositions de groupes, je définis, a yj/^/o/'^*^ pour /2 = 5, '-, II, les racines z des équations réduites du cinquième, du septième et du onzième degré, de cette manière, savoir :
/?. =: II, 5,- = (Poo — Vi) (t^l+i - v'24-/)(<^+/ — <^8+i) (^3+^—^64-/)
les indices i devant être pris respectivement suivant le module n. De la sorte on obtient trois systèmes de n fonctions rationnelles des racines ç^, et je vérifie que les quantités qu'ils comprennent ne font que s'échanger entre elles lorsqu'on fait respectivement ces
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suLstittitions
11 en résulte, par des compositions successives, que ces systèmes demeurent invariables pour les substitutions ( M ? où a est un résidu quadratique quelconque de n. Maintenant il est visible qu'ils ne changent pas non plus lorsqu'on fait la substitution ( ^' j ; et si l'on vérifie encore qu'il en est de même à l'égard de celle-ci ^, ^ ] 7 on arrivera à cette conclusion qu'ils demeurent invariables pour toutes les substitutions où l'on met, au lieu de k^
—j ,7 ad — bc étant résidu de /?. En effet, cette expression, dans
ck -\- d ? 1 '
toute sa généralité, s'obtient en composant entre elles celles que
nous venons de considérer. Le théorème du paragraphe XIV suffit
donc pour nous assurer que les équations réduites en^ auront pour
coefficients des fonctions rationnelles de u^ oiï ne figureront d'ir-
rationnelles, suivant les cas, que les radicaux y/5, y/ — 'y, y/ — i i.
Si l'on cherche maintenant les substitutions spéciales ( ' ) qui laisseront invariable une seule des racines considérée isolément, :;o par exemple, on trouvera aisément ces résultats, où a et h désignent des résidus quadratiques de /i, savoir :
n= 3 Q{k) = ak, n= y (^(k) = ak,
Ce sont les expressions auxquelles M. Betti est arrivé par une autre voie, et qui forment en général — ; ^ substitutions conjuguées,
, 1 . , ak -h b , j j , . 1
de sorte que toutes les quantités ,^ ou ad — oc est résidu qua-
~ir'
k^ib
k — ib a ~
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THÉOUIE DES ÉQUATIONS MODULAIRES. ni
cira tique de /z, peavent être ainsi représentées :
i étant un nombre entier pris suivant le modale n.
Enfin, si l'on désigne par z.^(^i) ce que devient 5/ lorsqu'on effectue sur les racines \> les substitutions que nous avons considérées, on trouvera, pour 7^ ^ 5,
o { i) ^lEi ai -\- b ^EE (^ai -{- by ^ c, pour 71^=^^
(D (i) EEE al -i- b ^^ — { ai -h by — i{ai -^ by- -\- c^
pour 7z = 1 1 ,
(^(i) EEE ai-^ b EEE («i -H by -{- 3{ai ^ by -h c,
h et c étant des nombres entiers quelconques pris suivant le module /z, et a étant résidu quadratique, ce qui représente en général
— ^ substitutions distinctes.
Les équations du septième et du onzième degré présentant cette propriété que Les fonctions non symétriques de leurs racines invariables par les substitutions ainsi définies ont une valeur rationnelle, constituent un ordre spécial d'irrationalité qui les distingue nettement des équations les plus générales de ces degrés. Ce sont, suivant l'expression de M. Kronecker, des équations douées d'o/fections, et qu'il sera sans doute possible de ramener analjtiquement à celles dont la théorie des fonctions analytiques a donné la première notion. Mais, laissant de côté les belles et difficiles questions auxquelles conduit ce sujet, et que M. Kronecker a le premier abordées, je me bornerai à faire voir que ]: { représente
bien, en attribuant à la fonction (oi toutes les valeurs, un système de substitutions conjuguées. Posons en effet, pour un instant,
de sorte qu'on ait, pour /i r= '^,
cp ( f ) ^ ai -^ b EE^ -y^(ai -h b) -h c ;
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on vérifie sans peine que
X[X(0] = ^' > mod
a ëLant supposé résidu de 7. Et faisant de même, pour n =: \ i ^
X(Ô — ï'^-^3j"S on aura
X[X(0] = ^ 'modii,
X[^X(^')--^1 =9^^^'x(^'+^)+const. j
a étant résida de 1 1 .
Ainsi les fonclions y(a/4-Z?), comme les expressions plus simples ai -^ b^ se reproduisent par la composition. De là résulte, pour les nombres premiers /z = n^ 11, l'existence de fonctions de
71 lettres ayant ,' °^' \' " -? c'est-à-dire 00 et 60480 valeurs. Toutes
deux ont été rencontrées par M. Kronecker, qui a le premier publié (Comptes rendus des séances de V Académie de Berlin, 22 avril i858) le cas des fonctions de sept lettres, et fait à l'égard de la représentation analytique des substitutions ici employée (* ) une observation pleine de justesse, montrant de quelle manière deux expressions algébricjuement différentes peuvent cependant ne représenter que la même substitution, et par là réduisant à un seul et même type deux, systèmes que j'avais d'abord considérés comme distincts. ( Voyez les Annali di Matematica, année ï85g, n"^ 1 et 2 et C. R,, t. XLVI, p. 879).
(^) Les expressions dans le cas des substitutions de cinq lettres, savoir :
ont été données avant moi par iM. Betti dans le tome II des Annales de Tortoliniy p. 17. Pour le cas de sept lettres, voyez les Annali di Matematica, année 1859^ nM. ^ ■
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THEOIUE DES EQUATIONS MODULAIRES.
Le cale al des équations réduites en z pour les trois valeurs de n que nous avons à considérer repose sur dçjix i^emarques : que l'on
peut y remplacer d'une part u par za et ^ par £ ^ ^^ ^ étant une racine huitième de l'unité; et de l'autre, u par - et z par
La première, jointe à cette observation que le développement des racines en fonctions de q commence par
prouve que les coefficients sont des polynômes en u^ contenant en facteur une certaine puissance de u; ainsi ces équations sont composées de termes de cette forme
et l'exposant a^ se détermine en prenant la valeur positive de V --^- ■ (modS), qui est immédiatement supérieure à la quantité V La seconde remarque montre que les polynômes
a -h bu^ -f- cii^^ -h. . .
sont réciproques, mais à cet égard en distinguant des deul. autres
le cas de /z = 1 1 , à cause du facteur ( — i) ^ ^ , alors égal à — I. De là résulte en effet que les polynômes facteurs des puissances paires de z ont leurs coefficients équidistants des extrêmes égaux et de signes contraires, tandis que ceux qui affectent les puissances impaires ont, comme pour /i == 5, 7, leurs coefficients égaux et de même signe. On en tire d'ailleurs, dans tous les cas, la valeur de pv sous cette forme
(/l -h ])V — •! «v Pv = ^ >
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8o OEUVRES DE CHARLES II ERMITE.
et si l'on observe enfin, ce qui est très facile à établir, que ia quantité I — u^ entre comme facteur dans le polynôme
avec un exposant (^ ) dont la limite inférieure est
on aura rénni tout ce qui est nécessaire pour pouvoir écrire a priori et sans calcul les équations réduites sous les formes suivantes, où D représente toujours le discriminant, savoir :
\'' Il z=z ^.
z"^ + zau'^{i — u^Y — \/iy — o.
Le terme en z"* n'existe pas, parce qu'on obtient pour p^ une valeur négative; les termes en z^ et z'^ disparaissent parce que les coefficients doivent respectivement contenir en facteur i — w% (i — u^)'-) ce qui est en contradiction avec les valeurs p2 = o, 03 = 1.
^7|24o.ï^4(i ^^8)?4^2.^'^^4(i ^^8)4|^./«8(l— ii^f — \/D = O,
On a à remarquer cette circonstance importante que le coefficient a! est nul, et qui tient à ce que dans le développement des racines suivant les puissances de \J q = 4], savoir :
la quantité entre parenthèses ne contient pas la première puissance de i]. De là sans doute résulte qu'on a ainsi le type analytique le plus simple des équations du septième degré résoluble par les fonctions elliptiques.
En désignant comme précédemment para, p, . . ., des constantes
(^) Cet exposant est impair lorsque n = ii dans les coefficients des puissances paires de z: mais, ce cas excepté, il est toujours pair.
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numériques, on a cette équation
-^2^^10(1 — ii^Yi'Ç "{- Cz^^ -H r^i*^ + C'^^^^ -i- r«^' -^- K'i^
. ^^^4 ( f __ 2^8 )6 ( 0 4- G' Z/^8 t 6" Z^IG [- 0'" ?^24 | 6" Z^32 ^ ()' ^^40
Ces constantes pourront être déterminées en développant les coefficients suivant les puissances de g^ et substituant pour z le développement correspondant suivant la puissance de yq. Le calcul assez long" auquel on est conduit n'est nullement impraticable; je n'ai pas cru cependant devoir m'y arrêter, car le principal intérêt qu'on peut attacher au résultat concerne surtout l'étude des équations du onzième degré résolubles par les fonctions elliptiques» J'indique encore une fois, en terminant ici mes recherches, ces belles questions qui offriront une des plus importantes applications de la théorie fondée par AbeJ et Jacobi. Mais c'est surtout l'œuvre propre de l'immortel auteur des Fujidainenta d'avoir reconnu ces rapports si remarquables des nouvelles transcendantes avec l'Algèbre et les propriétés des nombres. Entre tant de beaux résultats dus à son génie, et qui ont ouvert des voies fécondes à la Science de nos jours, je ne puis m'empêcher de rappeler dans les Notices des premiers volumes du Journal de Crelle les énoncés relatifs aux propriétés des équations entre le multiplicateur M et le module k. C'est là en efïet que M. Kronecker a trouvé le principe de la méthode si remarquable pour la résolution de L'équation du cinquième degré qui m'a été communiquée dans une Lettre publiée au tome XL VI, page 1 1 5o, des Comptes rendus, et l'on pourra voir dans un travail très important de M. Brioschi sur ce sujet (') comment cette méthode résulte des relations singulières qu'a données Jacobi entre les racines de ces équations dans le cas du sixième
(^) Sul metodo di Kronecker per la rlzoluzione délie equazioni di quinlo grado, dans les Actes, de V Institut Lombard, vol. I.
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degré. Les travaux de ces deux savants géomètres ont ainsi ouvert une voie plus facile pour arriver à la résolution de l'équation générale du cinquième degré que celle que j'avais suivie en prenant pour point de départ la réduction de Jerrard à la forme
et c'est en suivant cette nouvelle direction que j'espère plus tard pouvoir y revenir pour contribuer à en faire l'étude approfondie qu'elle demande.
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