L'ÉQUATION MODULAIRE DU HUITIÈME DE&RÉ

Extrait d'une Lettre adressée à M. Brioschi {Aiinali cli Mateniatica pura ecl applicata, t. II, iSSg, p. 59).

« J'ai entrepris le calcul de la réduction de l'équation modulaire du huitième degré au sej3tième, et voici le résultat définitif auquel je viens d'être amené. Soit fait, en introduisant Ja variable w (^), 11=^ ^{^)^ l^s huit racines seront

. / (jL> + 1 6 ;?z

cp(7w) et cp ( ■

le nombre entier m étant pris suivant le module y. Or, en prenant, en premier lieu,

w H- 1 6 \ / eu H- 1 6 . ,-

et, en second lieu,

z' = cp(7w) — cp( ^^') I

r /w-4-i6.'2\ /w+iG.3\ir /a)H-i6.4\ /oj + iG.GM

(») Voir C. R., t. XLYI, p. 5io.

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84 OE U V R J: s D E C II ARLES II E R iM I T i: .

je trouve que z dépend de cette équation du septième degré, savoir :

-f- 4«7^ v/~/l7/«(e — /.2 -f- /c<) ^ o, a étant

Et :;^ dépend de l'équation toute semblable que l'on en déduit en changeant le signe du radical \j — 7. Le fait analytique essentiel dans cette question n'est pas tant, ce me semble, dans l'absence d'un certain nombre de termes de celte équation; ce qui me frappe le plus, c'est qu'il se présente deux types d'équations du septième degré résolubles par les fonctions elliptiques, et je vais essayer de vous faire voir jusqu'à quel point on doit les considérer comme distincts. Pour cela, je vais définir avec précision quelles sont les fonctions non symétriques des racines z ou des racines z' qui s'expriment rationnellement par les coefficients, et vous reconnaîtrez que ces fonctions, analogues sans doute, ne contiennent pas les mêmes permutations des racines. A. cet effet, et suivant l'usage, je représente par z^^ l'indice x étant un nombre entier pris suivant le module 7, les diverses racines z] pour abréger, je pose

encore

0 (.Z" ) EE^ 2 ^- — T^ ( mo d 7 ) .

» Gela posé, les fonctions non symétriques des racines qui s'expriment rationnellement par les coefficients sont celles qui demeurent invariables par les substitutions

a étant un résidu quadratique de 7, b et c deux entiers quelconques. Les formules (A) représentent ainsi

substitutions différentes, formant, suivant l'expression de M. Cauchy, un sj^stème de substitutions conjuguées. Or, en passant à l'expression en ^', il faut remplacer la fonction 9(^) par celle-ci

0'(.r)-rE= — 2^- — ^^ (mod 7),

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EQUATION MODULAI RI"] DU HUITIEME DEGllE. ô)

ce qui conduit à un système de i68 substitutions conjuguées, à savoir :

et il s'ensuit qu'il existe non seulement un tjqDe, comme l'avait dit M. Kronecker ( ' ), mais deux types de fonctions de sept lettres possédant trente valeurs distinctes.

)) Rien de plus facile d'ailleurs à démontrer que (A) et (A') sont des systèmes de substitutions conjuguées; cela résulte des congruences suivantes, où a est toujours supposé résidu quadratique de 7, savoir :

0 {ax) EEs a^-^ (^), 0 \in -i- 0 (:r)] eee iî7i'^{} I — -4- .^ j -h const., Q'(a.v) — a-^'(x), G'[/?i h- 0'(a7)] ees 2/u''0'( — 4- ^ ) -4- const.

» Dans ces congruences, les fonctions O(^), ^' (x) entrent, comme vous le voyez, absolument de la même manière. La théorie de l'équation modulaire du douzième degré conduit à des résultats analogues, que j'espère pouvoir vous communiquer dans une autre occasion.

)) En m'occupant de cette recherche, j'ai du encore employer cette expression analytique des substitutions qui m'a été fort utile, mais dont je ne sais si l'on pourra tirer parti en dehors de ces questions.

)) Quoi qu'il en soit, voici quelques remarques à ce sujet. Dans le cas de cinq lettres, les 120 substitutions sont ainsi représentées,

la valeur a ^ o étant exceptée et les indices étant pris suivant le module 5.

» Pour sept lettres les 5o4o substitutions seront, d'une manière analogue,

( ' ) Monatberichte der Akademie zu Berlin; April i858. La fonction de M. Kronccker reste invariable par les substitutions du système (A').

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en attribuant à la fonction 9 ces diverses formes, savoir :

0( ^) ss ^^H- a^'" 4- 3«2^ (<r/: quelconque),

O(^) ?.= .97^ -h ax"^ =t a:'2 -4- Srt-.r {a non résidu de 7).

)) Quant à ce qui se rapporte à un nombre premier de lettres^ j'ai bien quelques types généraux de formules de substitutions, mais d'autres questions m'empêchent de suivre ces recherches ....

» Paris. 17 décembre i858. »

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