X-—Xo/'{x^^) ' X — Xi f'{Xi) '" ' X Xji /'{x,i

et si l'on y ajoute le produit de/(.r) par un polynôme arbitraire^

(1) ,Une traduction en français de ce Mémoire par M. Bienaymé vient d'Atre publiée dans le Journal de Liouville, 2° série, t. III (18.59), P* 289.

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on aura l'expression générale de toute fonction entière de degré supérieur à n. et devenant encore Uç^^ w<, . . ., u,i pour

Mais en désignant par 8(^) un polynôme indéterminé et faisant

{x — Xi)f\Xi)^{Xi)

cette expression plus générale de la formule de Lagrange peut encore être présentée ainsi :

Cela posé, voici comment s'en tirent les formules nouvelles qui se rapportent à l'interpolation parla méthode des moindres carrés. Faisons dans W(^x) la substitution linéaire

déterminée de façon que l'on ait

lll -t- U] M-...-+- Z^2 ^ ^2 u p2 j^ ..-4-(^;2 (1).

En posant

!^\(x) =z aQfo{x)-h- aifiix)-^. . .-ha^faix), ^i(x) = bofo(x)-i- ùji(x) -f-...+ b,Jn{oc), ^rX^) = hi\A^^-^ hfii^) +...-f- lnfn{^)^

il viendra

et l'on aura, comme conséquence immédiate, l'égaillé suivante :

n2(^o) -f-n'^(a^'i) -+-,,, -\-u^{xn) = vi -h p| +.. .H- vi.

Or les fonctions ^[x) qui naissent ainsi de la formule de Lagrange possèdent, en vertu de cette égalité, les propriétés fondamentales

( ^ ) M. Cayley a donné l'expression générale de ces substitutions dans un Mémoire Sur les déterniinants gauches, publié dans le Journal de Crelle.

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SUR l'interpolation. 89

suivantes :

i z=r. n i = ji

<3) ^^^ni{00i)^ni'{00i)^O, ^^^l,{Xi)=^\,

el de ces propriétés résulte, comme l'a remarqué M. Tchebichef, la solution immédiate de la question que nous avons en vue.

Observons, en effet, que les fonctions (ï>(.^) contiennent toutes en facteur 8(.^), de sorte qu'en faisant

on a un système de n +1 poljnomes

du /i'^""^« degré; or, après avoir choisi m + i de ces polynômes, par exemple

si l'on demande de déterminer les coefficients A, B, . . ., H, de telle sorte que la somme des carrés des valeurs de la différence

F(^) — Aoo(a7) — Bcpi(^)— . .. — Hep ,,,(37), pour

multipliées par des nombres donnés, soit un minimum, on opérera comme il suit. Disposons de 6(^), de manière que les poids des erreurs soient

l'expression qu'il faut rendre un minimum sera

2[F(^,-)-Aço(.î^/)-B<p,(a7,-)-...-Hcp„,(ar,)p62(a;,-), ou bien

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OEUVRES DE Cil A RLE S H E R M IT E .

Or en égalant à zéro les dérivées prises par rapport à A, B, . . ., H,, on trouve cpi'en vertu des équations (3) une seule inconnue subsiste dans chacune des équations ainsi formées, ce qui donne immédiatement les valeurs

<ïV(^v)F(^/)0(^/),

et, en posant

-K^x) — Acpo(^) -H Bcpi(^) -f-. . .H- lJcp/;,(.^),

on en conclut immédiatement qu'on a

2 T.HXi) 6^^,-) = 2 Y'-{Xi)^\Xi).

Mais, parmi les diverses expressions auxquelles nous parvenons ainsi, et qui dépendant des éléments arbitraires de la substitution (i) sont en général du n''™^ degré, il reste à découvrir celles qui, pour une détermination convenable de cette substitution, seront seulement du m'^"'® degré, de manière à résoudre la question proposée par l'emploi d'un polynôme du degré le plus petit possible. Soit, à cet effet,

= hioo),

les équations (2) donneront, par la suppression du facteur 6(^), commun aux deux membres,

cpo {x) — aoi'Q(x) 4- a-i£i{x) -h. . .-H a/,i,i(^), oi (x) = 60 io (^)+ bi£i(x)-^.. .-f- b,,Jn(^),

o„{x) = Iq io (x) -h h il (^) ■

In^'n(^),

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