SUR L INTERPOLATION

et l'on va A^oir qu'il est possible de réduire Oq(x) aune constante, o, (x) au premier degré, et en général ^i{^') au degré i. Effective-

,•1 .... 7i(7i -H r) , nient, on aura, pour qu li en soit ainsi, a poser équations

entre les coefficients «07 <^^i5 • • -•> ^/o ^o^ ^n • • •? ^/n • . -, ce qui est précisément le nombre des quantités arbitraires que comporte d'après sa nature la substitution (1). Or de Là résultera un système spécial

tel que la formule

composée avec ces fonctions, sera précisément du degré m. Cependant il serait difficile par cette voie de parvenir à exprimer explicitement les nouvelles fonctions par les quantités Xq^ x^^ .... x,, et 9(,r). C'est au moyen de l'équation fondamentale

en faisant usage des propriétés des formes quadratiques, qu'on y arrive et qu'on établit le théorème suivant :

Soit A,;^ Viiwarlant de la forme

qui sera un polynôme du m^^^^^^ degré en x^ dont V expression analytique est bien connue; si V on désigne par ù,^ le coefficient de x^'^ dans ce polynôme, on aura

Pour m = 1 , où il n'y a pas à proprement parler d'invariant, on devra faire

Al =^ {x-Xi)^Hxi), et pour m = o prendre

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9'^ OE U V R II s 1) E C 11 A l\ L ES H E R JII T E .

Le signe du radical carré que présentent ces formules reste arbitraire ; car dans la fonction

le coefficient H en général ayant pour valeur

changera de signe en même temps que Om(^)^ et le produit H ^^/;i(^) ne changera pas.

Je remarquerai enlîn, en terminant, que la suite des quantités I, A^, Ao, ..., A//^, possède à l'égard de l'équation /'(^) = o les propriétés des fonctions de M. Sturm, pourvu que le polynôme arbitraire ^(x) ait ses coefficients réels. C'est ce qui résulte de la forme quadratique dont elles ont été déduites.

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