FORMES CUBIQUES À DEUX INDÉTERMINÉES

Comptes rendus y t. XLVJH, 1859 (J), p. 35 1.

La théorie des formes cubiques à deux indéterminées a été dans ces derniers temps le sujet de plusieurs Mémoires importants dus à M. Arndt et publiés dans les Arcliwes de Grimer t et dans le Journal de Crelle (année 1837). L'auteur, en ajoutant beaucoup aux premières découvertes d'Eisenstein, a donné dans un de ces Mémoires une table de formes réduites avec leurs covariants quadratiques pour tous les déterminants négatifs jusqu'à 2000, et il serait bien à désirer que les formes à déterminants positifs devinssent l'objet d'un pareil travail. Mais elles semblent présenter dans leur nature quelque chose de plus complexe, de sorte que la méthode de réduction dont j'ai donné le principe {Journal de Crelle^ t. XLl, p. 21 5) laisse subsister de grandes difficultés pour obtenir les conditions caractéristiques des formes réduites. Cette question m'ajant paru mériter de nouveaux efforts, je me suis attaché à en rechercher la solution complète, et j'ai l'honneur de présenter à l'Académie, dans cette INote, les résultats que j'ai obtenus avec l'indication de la méthode que j'ai suivie.

Je rappellerai d'abord qu'en posant

f -~ ax^ -\- 3 bx-y -h 3 ex y- -f- dy^ = a (^ — ajK ){x — [iy) {x — yj" ) je définis cette forme comme réduite si, toutes les racines étant

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réelles, le covariant

= A :î7^ -i- 2 B xy -H Gy^ ,

et clans le cas où a est seule racine réelle, j3 et y étant imaginaires conjuguées, ce second covariant

= P x^- -\- 2Q xy -h R jK^

sont des formes réduites dans le sens propre aux formes quadratiques à déterminant négatif. La grande différence de ces deux cas tient à ce que o s'exprime rationnellement par les coefficients de /*, tandis que A, fonction symétrique en [3 et y seulement, est essentiellement irrationnelle. Cependant ces propositions, faciles à établir, leur sont communes :

i'^ Deux formes réduites distinctes représentent, en général, deux classes différentes et, si elles sont équivalentes, elles se déduisent l'une de l'autre par les substitutions qui cbangent en ellesmêmes les formes

2° Soient D = B- — AG le déterminant ou invariant de / et A sa valeur absolue, les coefficients de la forme réduite vérifient les conditions

Mais, à l'égard de ces limitations, une étude plus approfondie de la théorie de la réduction fait voir qu'il y a lieu de distinguer les deux cas, et pour D <; o, M. Arndt a déjà reconnu qu'elles devaient être remplacées par celles-ci :

Je vais, avant d'aborder des questions plus difficiles, m'arrêter un instant sur ce point.

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