EXTRAIT D UNE LETTRE A J\I. RORCIIARDT

io3

» Par la suite, et pour désigner d'une manière spéciale ce mode d'opérer avec une forme sur une autre, je conviendrai de la notation suivante :

dx^ dy^ dzl

Supposant par exemple que / et F soient le co variant et le contrevariant cubique, par rapport aux trois formes quadratiques cp, cp^, cp'\ dont les expressions ont été données plus haut, on trouvera

/ ^^ F == ^i^agh) {bcf) -+- 6(6/A) {ach) -4- 6(c/^) {abh) - S{afg-) {bfg)

— %{bgh) {cgh) - Sic/h) {afh) -^{abf){acf) + ^,{bcg){abg)

— l\{ach) (bch) — i{abf) (cgh) -H 2(abg) (cfh) + 'i(bcg) (afh)

— '2(beh)(afg) + 2{acf) (bgh) h- i{ach){bfg) + i{abc) (fgh) -^S(fgh)\—(abcy.

C'est précisément, sauf le signe, la quantité T dont M. Cayley a donné un autre mode de formation, et l'on aperçoit immédiatement le lien de cette expression avec l'invariant de sixième ordre des formes cubiques, car, en supposant

1 ^ 3 dcc

, I d\] 3 dy

„ I d\] 3 dz

elle se réduit à l'invariant du sixième ordre de U. )) Faisons, en second lieu,

^Y — l^ -^ mi] + n^, cp' >« F r= l'^ -h W't] -h /z'Ç,

et posons

ce déterminant sera un invariant combinant du douzième ordre par rapport aux formes données, et si, comme tout à l'heure, on fait l'hypothèse

3 dx ^ ^ ^y '

on aura précisément

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S désignant l'invariant du quatrième ordre de U. Le résultant relatif à o, cd', d' sera donc

expression analytique qui réalise, autant que possible, cette analogie avec le discriminant d'une forme cubique que M. Sylvester a le premier reconnue.

)) Mais le fait qu'il importe principalement de remarquer, c'est l'existence des trois contrevariants linéaires simultanés

o>^V, ^' ^¥, cp" >^ F,

par rapport au système des formes quadratiques proposées. En effet, si l'on en déduit, en transposant, la substitution suivante :

x= IX-hl'Y -{-l"Z, y = mXH-7n'Y + WZ, z = nX -^ n'Y -}- jfZ,

et, qu'après l'avoir effectuée dans o, o^, o'\ on désigne les transformées obtenues par A, 'V ^ Y ^ on aura ces deux propositions :

)) i" Y ^'-^ V ^ont les dérivées par rapport à X, Y et Z d^une même forme cubique,

)) 2^ Tous les coefficients de cette forme cubicjue sont des invariants simultanés des trois formes proposées cp, o\ (d" .

)) Ce second résultat offre le premier exemple de F extension aux fonctions à trois indéterminées de la notion des formes types, que j'ai introduite dans l'étude des formes binaires de degrés impairs et en partant des covariants linéaires propres à ces formes. En second lieu, considérons, en faisant abstraction pour plus de simplicité du dénominateur, la substitution inverse de la précédente, savoir :

X = {m' n"~ n' ?n") x -h (/?/ 1"— l' ji") y-\-{V ni!'— ni! l!')z= Lcc -\- My -h N ^ ^ Y = (nm" — mil") x -{- {In!' — nl!')y-^ijn l" ~ lni!')z = M x -\- W y -^ N'^, Z = {mn! —nni')x-^{nl'~- lu!) y-^{lni! ~ mV) z = U'x -^W y -v-Wz.

Ces trois fonctions linéaires seront évidemment des covariants simultanés de cp, o' ^ o" ^ de plus

6 =cpXH-cp'Y-|-cp''Z

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EXTRAIT d'une LETTRE A M. BORGHARDT.

sera un covaiiant cubique et

un covariant double, en ^^, i^, (^ d'une part et x^ jk, :? de l'autre. Or on a la relation

d^ dx

dx ^ ^^ +L'cû'-+-I/cp'',

l 4^ =:Mo-}-M'c:/

Ncp + N'cp'

Ainsi les mêmes quantités /, /?2, n^ . . . se présentent dans la transformation de variables comme dans la combinaison sjzygétique par laquelle on ramène les formes quadratiques proposées aux dérivées partielles d'une même forme cubique. On peut d'ailleurs aisément les calculer par la remarque suivante : Nommons ^, ^^ ^" les formes adjointes de «p, o^, ç^^, et considérons le déterminant

<icp d^' do"

dx dx dx

dy dy dy

d<D do' do"

dz dz dz

En le mettant successivement sous ces trois formes

dy dz

■cf*='-'

dy dz

on aura

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f06 OEUVRES DE CHARLES IlERMITE.

» L'analyse précédente s'applique évidemment à l'étude de deux formes cubiques binaires simultanées et conduit à l'égard de ces formes à des résultats entièrement semblables à ceux qu'on vient de voir. C'est une extension nouvelle donnée ainsi à l'analogie qu'ont révélée les découvertes de M. Hesse et de M. Aronhold entre les formes cubiques ternaires et les formes biquadratiques binaires, et qui doit compter, ce me semble, parmi les résultats les plus intéressants de l'Algèbre moderne. Peut-être pourrais-je y revenir plus tard, mais avant de terminer j'indiquerai encore, puisqu'il a été question plus haut des formes types, comment on peut étendre au cas d'un nombre quelconque d'indéterminées la notion des formes canoniques telle que je l'ai donnée ailleurs pour les formes binaires. A cet effet, j'admettrai l'existence de deux coçariants quadratiques

par rapport à la forme ou au système de formes donné. Gela posé, la substitution linéaire de ^, y, ^, . . . en d'autres indéterminées X, Y, Z, . . . qui fournira la réduction à la forme canonique, sera définie par les conditions

^{x,y, z, ...)= aX2 + PY2 +^72+....

)) On verra aisément comment se présentent, en partant de là, les propositions fondamentales que j'ai données dans le cas des formes binaires.

» Paris, i4 février 1860. ))

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