DIX-HUITIÈME ORDRE DES FORMES DU CINQUIÈME DEGRÉ

ET SUR LE ROLE QU'IL JOUE DANS LA RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION DU CINQUIÈME DEGRÉ.

Journal de C relie, t. 59 (1861), p. 804.

(( . . . J'ai entrepris, en suivant la méthode de M. Kronecker, de creuser un peu plus à fond la résolution de l'équation du cinquième degré. . . . Chemin faisant, j'ai eu à étudier Finvariant du dix-huitième ordre des formes du cinquième degré qui joue un rôle fondamental dans la marche que j'ai suivie. Peut-être vous intéressera-t-il de connaître comment il s'exprime au moyen des racines Xq^ ^^, ^2? ^3? ^4 de la forme représentée par

/^ a(a7 — ^oJK) (-^ — ^17) (^ — ^27) {x—x^y) (x — Xi^y),

Voici le résultat que j'ai obtenu. Soit, pour abréger,

{mn) -^Xtn — Xn,

on aura

I = ai8)(oi)(o4)(32)-h(o2)(o3)(i4)lKoi)(o2)(43) + (o3)(o/0(i2)il(oi)(o3X4^)-^

X l(i2)(io)(43)-i-(i3)(i4)('2o)i l(i2)(i3)(o4)-H(r4)(io)(23)| |(i2)(i4)(o3)-i-(i3)(io)(42)j

X !(23)(2lXo4) + (24)(2O)(3 0i l(23X24)(l0)-f-(20)(2TX34)| 1 (23)(2oXl4) + (24X^^ 0(o3) j

xl(34)(32Xio)-l-(3oX3iX4'^)IK34X3o)(2i)-i-(3iX32X4o)|l(34X3iX2o)H-(3oX32Xi4)t X l(4oX43X20-^(4iX4a)(o3)j l(4o)(4iX3^)-H(42X43Xoi)| l(4oX42)(3i)-i-(4TX43X2o)i.

Les quinze facteurs ont été réunis trois à trois de manière à former cinq produits, symétriques chacun par rapport à toutes les racines

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] o8 OE i: V R i: s d e c h a r ]. e s ii e r m i t e .

moins une. Le produit total est donc bien symétrique par rapport à toutes les racines, et l'on reconnaît d'ailleurs immédiatement qu'il représente un invariant, car il ne change pas quand on remplace les racines par leurs inverses et qu'on les augmente d'une

même quantité

» Désignons par Xo, X,, Xo, X^, X/, les cinq produits de trois facteurs, dont se compose l'expression de l'invariant 1, de sorte que

X,= l(oi)(o4)(3o,) + (o2)(o3)(i4);

X |(oi)(o3)(43) + (o3)(o4)(i2)iKoO(o3)(42)4-(o2)(o4.)(3i)i...,

on peut écrire

et X^i- sera une fonction rationnelle et entière de la seule racine Xk. Gela posé, les quantités suivantes :

zo = aOXo(ii>0(i3)(i4)(23)(24)(34), z, :-a6Xj(23)(24)(2o)(34)(3o)(4o), ^, =:a6X2(34;(3o)(3i)(4o)(4[)(oi),

^3 == a6X3(4o)(4l)(4'^)(oi)(02)(l2), ^4 = a«X4(oi) (02) (o3) ( 12) ( l3) ('23),

seront elle-s-mêmes, sauf un facteur qui est la racine du discriminant, des fonctions rationnelles semblables de ^07 -^n •••) car on peut écrire, par exemple, en représentant le discriminant par A

Zq = a-X

ce qui est évidemment une fonction rationnelle de ^0. Or, l'équation du cinquième degré, dont les racines seront ces quantités Zq^ s,, ..., aura pour coefficients des invariants, et sera de cette forme

L et M étant du douzième et du seizième ordres et I du dix-huitième. ))

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LETTRE ADRESSEE A M. LIOUVILLE