APPLICATIONS A L'ARITHMÉTIQUE
Comptes rendus de l^ Académie des Sciences, t. LUI, i86t (II), p. 214 ç,\. Journal de Mathématiques pures et appliquées, s'user., t. VII, 1862, p. 25.
« Depuis noire dernier entretien sur les questions arithmétiques qui sont l'objet de vos recherches et où vous m'avez donné un nouvel exemple de la grande fécondité des méthodes dont vous conservez le principe, je pense avoir réussi, dans une certaine mesure, à donner satisfaction à un désir que vous m'avez plusieurs fois exprimé relativement aux beaux théorèmes de M. Kronecker sur les nombres de classes de formes quadratiques. Ces théorèmes, qui semblent par leur nature devoir naturellement entrer dans le cercle de vos études sur les fonctions numériques, restaient cependant comme isolés et appartenant à un ordre d'idées très distinct où la théorie de la multiplication complexe dans les fonctions elliptiques paraissait seule pouvoir donner accès Les démonstrations du P. Joubert découlent en effet de cette théorie où la notion de classe de formes quadratiques s'offre de la manière la plus nécessaire et joue le rôle le plus important. J'attache à ces démonstrations un grand prix, car elles éclairent et étendent la théorie arithmétique des formes en montrant que les théorèmes donnés il j a si longtemps par Gauss sont autant de propriétés des fonctions
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elliptiques, et elles ajoutent un des plus remarquables exemples de ces liens cachés qui réunissent l'analyse transcendante à l'arithmétique. En parvenant par une autre voie à ces théorèmes de M. Kronecker, c'est à l'ordre d'idées qui vous appartient que je pense les avoir rattachés de la manière la plus directe, et, si je ne me trompe, dans le sens même de vos prévisions, car la notion arithmétique de classe se trouve remplacée par l'idée beaucoup plus simple et plus élémentaire des formes réduites.
» Je suis parti des identités que fournit le développement des quotients de fonctions 6, en séries simples de sinus ou de cosinus, et dont Jacobi a montré le premier la grande importance en découvrant de cette manière l'expression du nombre des décompositions d'un entier en quatre carrés par la somme des diviseurs de cet entier. Une extension fort simple de ce procédé consiste à considérer, au lieu seulement de sin am^, cos am^, Aam^, les produits de fonctions doublement périodiques par des puissances de quantités B, c'est-à-dire des expressions ayant la période 4^"^? ^t se multipliant par un facteur exponentiel, lorsqu'on ajoute 2iK.^ à la variable.
)) En faisant z = —^^ et posant avec Jacobi
id {z) =^ i — iq cos2^ H- s^'"- co^/\x — 'iq'^ cos6^ -H . . . , H (^) := 9.\/q sina? — i\/' q'^ sin3a7 -h ay^^^o sin 5^ — . . . , ©1 (.3) = I i- 2^ COS2 57 H- iq'^ cos4^ ~*~ 2^^ cosGa? -f-. . ., Hi(^) = '^\J q cosa? -h i\/ q'^ cosox -f- 2^/^25 cos5^ +. . .,
de sorte qu'on ait
I H(5) ^ /k' Hi(^) ^ /w 0i(^)
SHi am^ = -— 7— — -y cos am^ = \ / -r -tt, — r ' ^ ai^^-^ = \ ^ -— — ^y
les plus simples de ces fonctions seront
Yi{z)%,(z) n,{z)Q,{z) H(^)Hi(^)
UH.z) imz) euz)
Q(z) e{z) e{z) Si on les développe en séi^ies de sinus et de cosinus, on trouvera.
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LETTRE ADRESSÉE A M. LIOUVILLE
pour les premières,
-H sin3a?\/^9 (i "1- '2^—1)
-H sill(2^+i)iry/^(2/i+l)-(i i-2^-l-}-'2g-4 4, , . |, 2^-«')..
— cos3^y/^9 (i — iq~^)
-}- cos5rpy/^25 (i — 2^-1 -I- Q^q-^)
— co?>-jx\/q^^ (i — 2^-^ -^ iq-'^ — iq~^)
,, Pi 2^~^-l-2^~^ — 1
+ (,)«cos(2«+i)a;^5r(^«+i''|^ +;(,)„^„'- ■■ J^
-t- sin4.a7g* (2 y/ 9'"^ + '2 v^-'-^)
-H sin6^^9 (2 v/^~^ -i- 2 V^^~^ -1- 2 (y^"^^)
-H sin8^^i6 (2 ^^ .^ 2 (/^+ 2 (/^^^^ -H 2 \/^-^9)
H- sin 2 nxq^''' ( 2 y/^-i -H 1 ^q-^ -h ... -t- 2 ,^y^-(2«-i)'^ ) . Quant aux secondes, introduisons la fonction suivante :
Z(x) — G0?>ixq{l\!q-^)
— (I0^l\xq^ (2 y/^"^ — 2 V^^^)
H- cos6^^9 (2 \/^""^ — 2 \/g~^ -f- 2 \/^~^^)
— cosB^^i^ (2 \/V~^ — 2 y/^"^ -t- 2 y/^--^ — 2 \/q-^^)
— (— i)« cos2 7^^^'^'[2 {/q^ — 2 (/^ +. . .— 2(— i)'^V^^-^2'^-i^'] >
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et ces constantes, savoir :
Sf.-^-=2<-)"
l — q 1 — g'^ ! — q^ T — q' ^mà l — q^
ou encore
S./ qB — > ^^— — -
^ ^ jLu l-i- q^'^
•2/fi—l '
Ini
elles donnent
— • sin am^H {z) = ^- ■ ^; / .:= A0(^) — 0 (o)Z,
cosam^Hi(^) == ^1 J/ / === B0(^) — 0i(o)Z,
'IIZ '2 71 0(-^)
1 iam,.e,(.)=^^ ^ =Ge(.)-H,(o)Z.
2TC 27T ©(-^j
)) Ce second groupe de fonctions se distingue essentiellement du premier par la présence des fonctions complètes A, B, C, dont voici le caractère arithmétique. Désignant par n les nombres entiers ^ 3 (mod 4); on aura d'aJoord
le coefficient a^ étant la somme des valeurs de l'expression
(-0 ' en prenant pour d tous les diviseurs de n inférieurs à sa racine
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T. E T T R i: ADRESSEE A. M . L I O U \^ I L L l ^
carrée ; nous le représenterons ainsi
Faisons ensuite, en supposant n pair,
» Si l'on désigne par d les diviseurs impairs de n inférieurs à sa racine carrée et par d' les diviseurs impairs plus grands que sa ra-
)) Voici donc deux nouveaux exemples de ces parties de fonctions que Kronecker a introduites en arithmétique et qui s'offrent sous un point de vue si différent dans les recherches délicates et profondes de ce savant géomètre sur les modules qui se rapportent à la multiplication complexe. Par cette nouvelle origine, elles se trouvent rattachées de la manière la plus immédiate à l'ensemble de vos travaux sur les fonctions numériques, et peut-être même ne sera-t-il pas impossible de définir par des équations difFérentielles les fonctions qui leur donnent naissance en partant de ces expressions :
•27rG =
» Je remarque encore, comme un nouveau trait de la distinction à établir entre les fonctions (i) et (2), que la quantité Z(^),
qui donne A et B en y faisant x = o et x^-^i conduit, pour
