I. E T T R E A D 11 E s s E E 4 iM . L 1 0 U V 1 L L E
arithmétique aux fonctions des diviseurs des nombres, X^ comme vous allez voir, conduit aux fonctions qui expriment le nombre des classes quadratiques pour toutes les formes de déterminant — n. Il étant ^ 3 (mod 4).
)) Pour le démontrer, je regarde 1 expression — ^ - — comme
le produit de ces deux facteurs
— ^ — - — ^ — - et ^ — sJ k sin am^;
or nous avons trouvé
H- sin Zx \q^ (r-f- iq-'^) = 5j sin ('2 A^ -h i) ^ -y^ia/i-i)" ^ V g-a-^
le nombre a devant prendre les valeurs
a = o, ±1, dz 2, ..., ±71, et l'on a
s/FK H(z] . \/q . ., v/^3 , ^ ^^
7-7 — ■ = '2 sin^r 1- 2 sin ox — - -t- 2 sin 0^ — ^ ■-;: + etc.,
TT ©(-S) I — q l — q^ 1 — q^
de sorte qu'en multipliant membre à membre les deux séries, on devra précisément retomber sur le développement ci-dessus de
K /2A-K \r-{z)Qi{z)
On trouve ainsi, en se bornant au terme constant,
""ICI v/<7 '■"^ ' ■
^Et
expression qu'il est aisé de développer suivant les puissances de q
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Il6 OEUVRES DE CHARLES IIERMITE.
en remplaçant la fraction
par
6 désignant tous les nombres entiers de zéro à l'infmi. En posant
et désignant par F(J^) le nombre de fois que cette équation aura lieu pour une valeur de N, en supposant n el b entiers et positifs, a compris dans la série
on aura évidemment
» Ceci posé, j'observe que la valeur de N représentera tous les nombres entiers ^ 3 mod4, et qu'on peut l'écrire de ces trois manières, en faisant correspondre à chacune d'elles une forme quadratique de déterminant — N, savoir :
( N = ( 2 ^ -f- i) ( 2 71 -H 4 6 -h 3 ) — l\a-, \ {in -\- i, ia, 2 71 H- 4 ^ -H 3 ) ,
L N ~ ( 2 71 -I- I ) ( 4 'i -i- 4 ^ -r- 4 — 4 <^^ ) — ( 2 7Z 4- 1 — 1 Cl)- ^ ( (27l-f-I, 272-1-1 — ia, 4^ -i- 4^ ^- 4 " 4'^)5
' \ {2Al-}-I, 271 -r- I -1- 2a, 4 71 + 4 ^ -^ 4 -r- 4 <^0-
)) En employant la première pour les valeurs de a inférieures,
abstraction faite du signe à la limite - — - — ? la forme quadratique
correspondante représentera toutes les formes réduites de déterminant — N, où le coefficient moyen est pair, et qui sont, par conséquent, de l'ordre proprement primitif, chacune d'elles étant prise une seule fois. Les classes ambiguës seront renfermées dans ce premier groupe et correspondront à a=:o(Gauss, Rech. arith., p. 288). Pour les valeurs de a qui vont de la limite inférieure
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in -
— — à la limite supérieure /z, nous emploierons la seconde expression en leur attribuant le signe + et la troisième en leur donnant le signe — . On aura ainsi, deux fois répétée, une série de formes (/>, ^, r) de déterminant — N où se trouvent satisfaites les
conditions
^>o, iq<p, iq<r.
)) En permutant/? et r lorqu'on aura/? >> r, cette série donnera toutes les formes réduites de déterminant — N où le coefficient moyen est impair et positif, l'un des coefficients extrêmes étant aussi un nombre impair. On doublera leur nombre si l'on y joint les formes opposées (/>, — ^, /') qui en sont distinctes et appartiennent à des classes différentes, puisqu'il n'existe point de formes ambiguës ayant un coefficient moyen impair. Par conséquent, à la totalité des deux séries de valeurs positives et négatives de a correspond exactement la totalité des formes réduites, proprement primitives du déterminant — N. Ainsi la fonction /"(N) qui s'est offerte d'abord comme la somme des nombres de solutions des équations 1, II et IIÏ, reçoit cette nouvelle et importante signification arithmétique de représenter le nombre des classes proprement primitives de déterminant — N. L'équation
'l'"-'^'''-r.\/'^.C"^'mF"-
envisagée sous ce nouveau point de vue, montre l'importance de
la fonction complète de 1 expression 7-77 et va donner très
aisément l'un des théorèmes de M. Kronecker. )) Je fais pour cela x =z o dans l'équation
K /ÏTK H2(^)©,(^) ,^ ^ ^ ,^ 4/ — r my 7z i;y-{z)
— C05 4 ccq^ (\^q~^ ^ ^ \/Ç~^)
— cos6xq^ (\/q~''^ •+- 3 \V^~^ -+- 5 sjq'-"")
Le premier membre s'annulant, on voit immédiatement que le second membre, ordonné suivant les puissances de ^, donne une
ri8 OEUVRES DE CHARLES II ERMITE.
série dont le terme général est
L'exposant N est ^ 3 (mod4), 2 ^^ représente la somme des diviseurs de N supérieurs à sa racine carrée, et 2, ^^ ^^ somme des diviseurs qui lui sont inférieurs.
1^ » Le coefficient de q'' est donc précisément la fonction désignée
par W(N) et définie dans le Mémoire de M. Kronecker au moyen
de la relation
En emplo^'^ant cette notation, on pourra donc écrire
0,(o)Vir(N)ryï''=i2^(N).y^'',
et en égalant dans les deux membres les coefficients d'une même puissance de ^, on trouvera
i^(N) -i- 1 F(^ — 22) -H 2 F(N 42) ,. . .4 .^ //(N — 4 A-2) r= |. iF(N).
Or cette relation est donnée en ajoutant membre à membre les équations (V) et (VF) du Mémoire de M. Kronecker, et observant que la fonction oljn) qui y figure s'évanouit pour m = 'N^ 3(mod4). )) D'autres théorèmes résultent d'une détermination difi'érente de .A.. En premier lieu, je fais le produit des deux séries
0,| (z) = i-\- 2g COSIX H- 2^* cos4^ -\- iq^ cos6x -{-...,
2 7r2 0-^(^) ^i— ^2/i \ — cf \ — q^
qui donne pour le terme constant dans le second membre l'expression
2Là 1 — q'->'- ~" ZmÀ I — ^2« *
» Ce même terme s'obtenant aussi en intégrant entre les limites
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zéro et K le premier membre, on aura et, par conséquent,
nq'^
Soit
<î>^(7i) représentera la somme de tous les diviseurs de n dont les conjugués sont impairs etW^(7i) la somme de tous les diviseurs moindres que \//2 et qui ne sont pas de même parité que leurs conjugués. Ainsi pour n impair, <E>i (/^) coïncidera avec la somme de tous les diviseurs que M. Kronecker nomme ^(n)^ eiW^(n) sera nul. Cela étant, l'équation
donnera ce nouveau théorème où n est quelconque :
i^(47^ — i) + i^(4^— 32) -+-...+ F[4/^ — (2a +1)2] = ^^{ji) — Wi{n),
)) Je considère en second lieu le produit des développements de H(^) et de la dérivée de cosam^, à savoir :
H(^) = 2y ^ sin^ — 2\/q^ sin3^ -l- ay/^/^^ sin
1 ^ \ ^ — - ■= ^ sm^ + ^ ^ ■ sm 3^ H —-- sm 5^ 4-
Ti- &^{z) ï ■+- q i-^q^ ^-^ç""
En opérant de même on trouvera
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(2 71 -h]) Cf'
el, si l'on pose
N représentera tous les nombres entiers ^ 3 (mod 4) et "^^2(N) la somme des diviseurs de N inférieurs à la racine carrée. L'équation
donnera par suite ce troisième théorème
jP(N) — 2F(N — 2^-) -1- '2.F(N — 4"-) — . . .
+ 2(-iy^i^(N-4/r^) = (~i) 4 iF2(N):=:(-i) ''•■ -L Z__A J.
)) Le temps me manque en ce moment pour donner le système complet de toutes les relations de cette nature, et m'occuper des autres théorèmes de M. Kronecker et de ceux où le P. Joabert(^ ) a introduit des fonctions numériques distinctes des précédentes. J'aurais surtout à retrouver cette relation
qui sans doute doit résulter de combinaisons où entre la fonction
-—4^' M. Kronecker, en la donnant comme l'expression analy-
tique d'un de ses théorèmes, avait bien évidemment pressenti la signification qu'elle recevrait dans la théorie des fonctions elliptiques, et, à cet égard, je ne puis trop admirer la pénétration dont il a donné la preuve.
)) Vous m'avez aussi plusieurs fois parlé de la décomposition des nombres en trois carrés; dans le cas où il s'agit des nombres ^ 3 (mod 8), et où les carrés sont tous impairs, voici comment on trouve le nombre des décompositions.
)) Soit X^ ce que devient X par le changement de ^ en — q\ en posant pour un instant s = \/ ■ — i , on aura
(1) Voir C. B., t. L, i86o (I), p. 774 et suiv.
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LETTRE ADRESSE]] A M, L 1 0 U V I L L II . 121
Or on obtient aisément la valeur du premier membre. Introduisons dans FintésTale a: au lieu de iJ = — — ? ce qui donnera
