K^ /'2kK r'~ V\Hz
'2TIoA) =: i/ / —
Hz) Comme en changeant g en — q^ les quantités
•iL\ ^I^^., e(.), H(.), e,(.)
deviennent
on aura
Mais, par la substitution de - — x à x^ Fintégrale se change en celle-ci :
•"^Hf(^)ei(.-)
Hz) d'où résulte
dx
et, par suite, à cause de £ '' = — i ,
P .fo,
Or on a
H2(^)-f-/r'Hf(^) = /r02(^),
il s'ensuit que
et l'on en conclut la relation
2^(8« + 3)^ * ==(^Vy + ^/5r» + (/^'-5+...)3,
Hosted by
qui est l'expression de ce théorème arithmétique que le nombre des représentations d'un entier N^3 (mod 8), par la forme ^2 -^j- -|- z-^ en supposante, yj z de même signe, est précisément égal au nombre des classes quadratiques du déterminant — N pour lesquelles un au moins des coefficients extrêmes est impair.
» Quant au cube de i/ ^— ou 0| (o), il est donné sous une forme
singulière, et dont je n'ai pu suffisamment approfondir la signification en faisant e = o dans l'équation
— ^^imz&■l{z) = G0(^) — Hi(o)Z.
On obtient ainsi immédiatement
v/(^)'=«<«)(-*2fS5^)-<"-<«)i:<-''
-(2/;z-hl)(27?î+3) ,9'
Je laisse donc de côté ce résultat et d'autres du même genre pour vous indiquer, en terminant, de quelle manière je conçois la liaison de la théorie des fonctions elliptiques, dans ses applications à l'arithmétique, avec vos recherches générales sur les fonctions numériques.
)) Je considère pour cela les développements suivant les puissances de ^, de sinam^, cosams, Aam^, et je remarque qu'en posant
- — sm am^ = > ^jicf' ,
— cosam^ =r^ (— ij 2 S;,^2 ^ A ani^ — I -t- > T/, q'^ ,
les sommes s'é tendant à tous les diviseurs cl du nombre impair n et à l'égard de la fonction T, si l'on pose
LETTRE ADRESSEE A M. LIOU VILLE. 123-
N étant impair, et qu'on désigne par d les diviseurs de N, on aura serablablement
T,, =:'V(— l) 2 COSS^^+l^lr.
On retrouve donc ainsi les fonctions numériques qui se sont si souvent présentées dans vos recherches.
)) Soit encore
/K H(^)e,(^-) vu .J"
et désignons par cl et cV deux divisein^s conjugués, dont le produit soit /z, on aura
U,, = - 2^ sni — . œ, ^''^ T^ 2u ^~ ^^ ^^^ 1 ^'
les sommes s'étendant à tous les diviseurs du nombre n qui est EEH I (mod4) et, en dernier lieu,
n étant ^ — i (mod 4). On reconnaît ainsi, au point de vue arithmétique, l'analogie des nouvelles fonctions avec les anciennes, et en même temps leur différence qui consiste en ce qu'un divi-
seiu^ d est remplacé par — ; • On ne voit point encore d'ailleurs
s'offrir de parties de fonctions, mais elles se présentent en faisant
^-C^) =-2^ '^nq'*"'-
Dans ce cas n est ^ — i (mod4)7 ^^ ^^^ supposant d<^d^^ on trauve
cos • x^
Hosted by
124 OEUVRES DE Cil ARL E S H ER M ] T E .
la somme ne comprenant que les diviseurs d^ qui sont inférieurs à \J]i.
» J'espère, mon cher confrère, que vous n'oublierez pas m'avoir aussi promis une Lettre arithmétique qui soulève un peu le voile dont vous vous êtes jusqu'à présent recouvert. Si vous le jugez à propos, j'aimerais bien que celle-ci fût publiée dans votre Journal, où je la ferai suivre de plusieurs articles sur divers sujets qui s'y rattachent et qu'en ce moment je snis obligé d'ajourner. »
Hosted by
