na — mo

Or une fonction ayant pour périodes a et b ne changera pas en ajoutant à la variable une somme de multiples de ces quantités par des nombres entiers, telle que na — mb. Comme le nombre n peut être pris aussi grand qu on veut, sans quoi t ne serait pas

incommensurable, la nouvelle période na — mb = — peut être H. - II. 9

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lOO OEUVRES DE CHARLES H ERMITE.

rendue plus petite que toute quantité donnée, et par là nous reconnaissons déjà qu'il ne peut exister de fonction doublement périodique où le rapport des deux périodes serait réel et incommensurable.

C'est à cette même conclusion d'une période infiniment petite, ou du moins dont le module est infiniment petit, que nous allons parvenir en supposant trois périodes imaginaires :

Je dis, en effet, qu'on peut déterminer une infinité de nombres entiers, /n, n^ /?, tels que le module de ara-\- bn-^cp soit moindre que toute quantité donnée.

Considérez pour cela la forme quadratique ternaire

où \ est une quantité réelle arbitraire et dont le déterminant sera

Le minimum de f, pour des valeurs entières des indéterminées, aura, comme on sait, pour limite supérieure /s A, de sorte qu'en désignant par /n, /i, p ces valeurs, on aura

et, à plus forte raison,

( a m -H (3 71 M- Y/? )^ H- ( a' m -+- ^' 71 -H ^ pY < v^^ A.

S'il est donc impossible d'avoir à la fois