i^n ^ ^(p = o^ n!ra h- ^' n -f- ^[' p = o

ou bien

am -^ bn -^ cp = o,

c'est-à-dire si a, 6, c sont trois périodes réellement distinctes, on

Hosted by

THÉORIE DES FONCTIONSELLIP TIQUES. l3l

reconnaît que, 1 croissant, A peut devenir aussi petit qu'on veut et qu'on parvient à des périodes dont le module, ainsi que nous l'avons annoncé, est indéfiniment décroissant. Toutefois, nous supposons que le déterminant de la forme quadratique ne soit pas nul. Mais, dans ce cas particulier, au lieu de la forme ternaire, on considérera la forme binaire

Sous la condition ajS' — pa' = o, son déterminant sera — r-i — ' et ne pourra jamais s'évanouir. Or, en supposant que le minimum soit donné pour x = /n, y = ;i, on aura

et a fortiori

de sorte qu'on pourra raisonner comme précédemment et parvenir à une période am + bn dont le module sera d'une petitesse arbitraire. Ce cas particulier rentre d'ailleurs dans celui dont nous nous sommes occupé en premier lieu, car la condition ap' — j^a^=ro

exprime c[ue le rapport = y est réel.

fl. — De la périodicité dans les fonctions circulaires.

La notion géométrique de ces fonctions, leur définition dans le cercle, met en évidence immédiatement tout ce qui concerne la périodicité, tandis qu'au point de vue de l'Analyse pure, en prenant, par exemple, pour définition les développements

cc'-^

ce caractère si important semble beaucoup plus caché. 11 n'en est pas autrement à l'égard de l'exponentielle considérée comme

Hosted by

l32 OEUVRES DE CHARLES H ERMITE.

la limite d'un polynôme entier (^ i H j ? ou comme la série

oc oc'^ ic'^

I H- \ \ ^ — -: -h . . .. Mais les fonctions circulaires sont

susceptibles d'autres expressions où le caractère périodique apparaît tout aussi immédiatement qu'en Géométrie, et qu'il est d'autant plus intéressant d'étudier que d'elles-mêmes, par une généralisation facile, elles conduisent aux fonctions plus élevées qui possèdent deux périodes différentes. Pour premier exemple, je prendrai le développement en produit infini

qu'on peut considérer comme la limite, pour m infini, du polynôme

Or on voit tout de suite qu'on a

cp(.r-+-i)— — cp(;27) ^

ce qui donne, en supposant m infini, cp(^ + i) = — <^(^), d'où l'on conclut sin(Tî^ -j-u) = — sinir^r, et en remplaçant izx par x^ sin(^ 4- Tc) := — sin^, et, par suite, sin (^ -f- air) = sin^.

Nous serons conduit à un second exemple, en prenant la dérivée logarithmique des deux membres de l'équation (i), savoir