II I I

"K Q,0\1ZX = h

X X — I ce — '2 X Ô

En changeant ^ en ^ -}- i , le second membre devient

Hosted by

THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. l33

et, par suite, se reproduit, car les fractions partielles n'ont fait que changer de place en s'avançant chacune d'un rang. C'est ici qu'on voit s'offrir par une généralisation facile la manière suivante de représenter une fonction ayant pour période une quantité quelconque, à savoir :

^{^v) cp(^ — a) cp(:r — 2 a) cp(^ — 3 a). . . o(a?-f-a)cp(^4-'2a)cp(i?7-f-3a)... ; cp(^) -f-cp(^ — a) ^ ^{x — -la) -\- ^{oc ■ — 3 a) H-. . . -f-cp(^ + a)4-cp(^H-2a)-hcp(;r-i- Za) -\- . . . .

La condition de convergence du produit ou de la série infinie est seule à remplir, et, si l'on peut y satisfaire en choisissant pour (d{x) une fonction qui soit elle-même périodique, on se trouve mené à l'expression d'une fonction à double période. Tel serait, par exemple, le développement

If I i

sin^r sin(^ — a) ' sin(.^ — 2a) sin(^ — 3a) I I I

sin(^H-a) sin(ir -i- 'la ) sin(^-t-3a)

qui s'offre précisément dans la théorie des fonctions elliptiques, et qu'on prouvera facilement être convergent lorsque la quantité a sera imaginaire. Si l'on supposait a réel, les termes successifs delà série ne tendant pas vers zéro, la divergence serait manifeste, ce qui s'accorde bien avec ce qui a été dit précédemment de l'impossibilité d'une fonction à deux périodes réelles.

Mais on peut ne pas employer l'intermédiaire d\ine fonction déjà périodique, et parvenir à l'expression d'une série doublement périodique par ce développement doublement infini

a et h désignant les périodes, 7n et n des nombres entiers variables auxquels on attribuera toutes les valeurs de — oc à -|-oc. Et de mêmC; au point de vue des produits infinis, une analogie immédiate conduit à envisager des expressions de la forme

Hosted by

l34 OEUVJ^ES DE CHARI. ES HERMITE.

m et n recevant encore toutes les valeurs entières, en n'exceptant que la combinaison 772 = 0, n = o. Mais l'étude approfondie de ces expressions a révélé une circonstance importante autant que singulière. M. Gayley, dans un Mémoire sur les fonctions doublement périodiques publié dans le Journal de M. Liou^ille, t. X, a fait voir que leur valeur dépendait essentiellement de la loi suivant laquelle on fait croître simultanément jusqu'à l'infini les nombres m et 71. Par exemple, on obtient une expression analytique parfaitement définie et déterminée, en admettant la condition que m et n soient les coordonnées d'un point contenu dans l'intérieur d'un cercle œ- -\-y- = R- dont on augmente indéfiniment le rayon. Mais en remplaçant le cercle par une autre courbe, ce sera une autre fonction qui s'ofl'rira à la limite, et au lieu de réaliser de la sorte des fonctions doublement périodiques, qui se reproduisent en changeant x en x -f- a et x -\- ù, on parvient à des fonctions qui se reproduisent multipliées par un facteur exponentiel. Ces fonctions présentent en efi'et l'élément analytique fondamental sur lequel repose, comme nous le verrons, toute la théorie des fonctions elliptiques. Mais on remarquera que la prévision fondée sur l'analogie des expressions

ce { l-\

77ta -\- 7ib

ne se trouve pas justifiée, et que les secondes ne sont pas précisément les fonctions à deux périodes, bien qu'elles en fournissent les éléments essentiels. Ne pouvant exposer dans toute leur étendue ces considérations délicates et intéressantes, nous allons toutefois en donner l'idée en nous bornant aux produits simplement infinis qui conduisent aux fonctions circulaires.