III. — Su7^ l'expressioTi I 1 ^ f i H

Le fait principal sur lequel nous voulons appeler l'attention consiste en ce que ce produit n'est périodique qu'autant qu'on

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THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. l35

l'envisage comme la limite déjà considérée, savoir :

,i,ï .-ïV^i.-'

pour m infiniment grand. Faisons, en effet,

et concevons qu'on augmente indéfiniment m et n en posant la condition

03 désignant une constante désignée à l'avance; nous allons montrer que pour a infini la limite de ^{x) dépend de co, et n'est périodique qu'en supposant co == i .

Soit, pour abréger.

Jak X — n X

jLêà X + m

l'équation (i) donne, en prenant la dérivée logarithmique des deux membres,

cp(^) j^ X — n jhmÀx-\-m

Or on a identiquement

^ X — n J^ \x — n II) AU n J^ nx — nr Ami n