X -i- m AU \ x-\-in m ) AU m Àai m x-\-mr' ^U m
de sorte qu'en faisant encore
^ m AU n
t36 couvres de CHARLES H ERMITE.
on peut écrire
cp ( ^ ) ^à nx — n ^ ^d m x -f- m'^ '
et il s'agit d'obtenir la limite du second membre lorsque m et n
croissent lusqu'à l'infini. Or les séries > -'> 7 r
J ^ ^^ nx — n^- jmmà mx -h m^
sont l'une et l'autre convergentes, ont séparément des sommes finies et donnent lieu par conséquent à des limites parfaitement déterminées, où la condition m =^ io n ne peut jouer un rôle. Mais il n'en est plus de même à l'éeard des séries 7 — ^ 7 -> dont les sommes croissent indéfiniment avec /?2 et /z, d'où résulte cjue A se présente comme la différence indéterminée de deux infinis, et il s'agit d'en obtenir la valeur.
Nous représenterons à cet effet, par une intégrale définie, 1
série — h ^ — h ... H ■ en partant de la relation
x\^-~^ dx = - .
On aura efi'ectivement
— = / dxi\-\- X ^ . . .^ x"^ ~M = / dx —
et il en résulte que la difiérence des deux séries semblables — ? 7 - s'exprime par
771 Jh^ 71 ^ ^
f CiJi' f Ct'.X' — I
— i dx^ —
et il s'agit de trouver ce que donne cette intégrale en posant m = (jL>7i^ et faisant /z infiniment grand. On y parvient aisément par cette transformation très simple
On a, en effet,
dx = / dz
dz
Cù/i
nj
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et, par conséquent, pour n infini, l'intégrale bien connue
La quantité désignée par X, ayant ainsi poLir valeur /oa, ne s'évanouit qu'en supposant co == i , et, dans ce cas, l'équation (2) devient
cp'(a") I I i ^ t
<ù{x) X X — 1 X — 1 ' ' ' X — jn I I I
et il est visible qu'on peut remplacer les deux séries infinies par cette seule série convergente
o'(x) I IX '2X 'IX
o{x) X x'^ — r x''- — /\ ^2 — }jit
dont la somme est TicotTi.^?. Mais, en général, et en laissant entre m et n le rapport arbitraire w, on aura
= 7: COllZX -4- /w,
d'où
7 ^' {oc) , . ,
ax -— — ^ = t sirni^ 4- a7i co -+- const.,
et, par suite,
o{x) = Ge^'^^ sinitrr,
C étant une constante.
Ce résultat met en évidence le genre particulier d'indétermination que comporte l'expression 1 1 -^ { ^ H ) et pourra servir à
faire comprendre le fait analogue relatif au produit doublement
infini 1 1 ^ ( i -}- j— ] dont la valeur sénérale s'obtient en
J- X V <^'^^ -\- on I ^
multipliant par une exponentielle de la forme ^aj7-+p^+y ^^j^q valeur particulière, déterminée en définissant par une courbe, comme nous l'avons dit plus haut, la loi suivant laquelle on associe les nombres entiers m et /2, en les faisant croître indéfiniment. Mais, sous un point de vue plus général, on peut se demander s'il existe des fonctions uniformes et entières qui aient deux périodes»
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l38 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
Tel est rol)jet de la proposition suivante due à M. Liouville, et dont l'illustre géomètre a fait la base d'une théorie complète des fonctions doublement périodiques (').
