IV. — Proposition de M. Liouville
Elle consiste en ce que toute fonction uniforme f(^), possédant deux périodes a et 6, se réduit nécessairement à une constante si elle ne devient infinie pour aucune valeur de la variable. Partons en effet de l'expression suivante, de toute fonction entière, uniforme, ayant pour période a, savoir :
La condition î[x + 6) = f(^) donnera l'égalité
i Tl h in .X'
et, si l'on multiplie les deux membres par e " , on trouve, en
intégrant entre les limites zéro et a,
in h -l m
On en conclut cjue A^^ est nul, car en supposant imaginaire, ainsi qu'on le doit, le rapport des deux périodes -? on ne peut avoir
inb
e '^ = i que pour la seule valeur m ^=i o. Km devant être supposé nul pour toute valeur de m, sauf m = o, on voit que i{oc) se réduit à la constante Ao-
Cette proposition, aussi simple qu'importante, nous fait voir que les fonctions à deux périodes seront nécessairement des transcendantes fractionnaires; elle rend compte a priori des singula-
(1) On pourra consuller sur ce sujet l'Ouvrage de MM. Briot et Boucjuet, intitulé : Théorie des fonctions doublement périodiques et en particulier des fonctions elliptiques, Paris, Mallet-Bachelier.
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THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. iSq
rites que présente la nature des produits doublement infinis
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et montre l'impossibilité de donner pour origine aux fonctions à deux périodes l'expression plus générale
cp ( .r ) cp ( ^ — a) ^{x — o^a) cp ( ^ — 3a). . .
cp ( .27 -f- a ) cp ( ^ 4- 2 a ) cp ( ^ -4- 3 a ) . . . ,
en prenant pour o(^) une fonction périodique entière. Mais ces expressions, si elles ne peuvent conduire aux fonctions à double période, nous amènent à celles qui leur servent de numérateur et de dénominateur, et c'est à ce moment qu'à proprement parler nous entrons dans l'étude des fonctions elliptiques.
Définition des fonctions 0(.^), i^{oo), leur expression en produits
et en séries.
Rien n'est plus important ni plus digne d'intérêt que l'étude attentive des procédés par lesquels, en partant des notions antérieurement acquises, on parvient à la connaissance d'une fonction nouvelle qui devient l'origine d'un nouvel ordre de notions analytiques, et un traité complet sur le sujet qui nous occupe ne devrait omettre aucune des méthodes découvertes et suivies à l'égard des fonctions %(^x) et H(.2;). Mais ici nous n'en indiquerons que deux, la première se liant naturellement à ce qui précède, et la seconde devant nous permettre de donner un aperçu sur les fonctions analogues, mais à plusieurs variables et d'un ordre plus élevé, qu'on nomine fonctions abéliennes ou ultra-elliptiques .
