I. — Première méthode
Nous adopterons désormais les notations employées par Jacobi dans l'immortel Ouvrage intitulé : Fundamenta noi^a theoriœ functionuin ellipticarufn, et nous représenterons les quantités qui serviront de périodes par K et /K', i désignant y/ — i . Cela
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posé, en désignant par c)[x) une fonction entière ayant pour période 2K, nous considérerons, au lieu des expressions
cp ( ^ ) cp ( ^ — ili.' }(j^{x — 2 i K' ) . . . (p ( ^ -h fK' ) cp ( ;r M- 2 J K' ) . . . ,
que nous savons ne pouvoir servir à la définition d'une fonction entièrement déterminée, la suivante :
^{00) == cp ( 37 -4- i K' ) cp ( :r -{- 3 t K' ) ^ ( ^ -H 5iK'). . .
cp(— .r-f- ÎK') cp(— X 4- 3iK') cp( — .r -H 5ili' )
On aura d'abord
et l'on trouvera ensuite immédiatement
cp( — x — ÎK' )
<ïï ( .r -f- 2 t'K' ) = <i> ( a? )
cp(:27 -4- fK')
On n'a donc pas ainsi une fonction doublement périodique, mais ce nouveau type d'expressions conduit, comme nous allons voir, à des fonctions parfaitement définies et déterminées.
Soit, par exemple, la fonction entière ayant 2K pour période
l 7Z JL-
cp(^) = i — e ce qui donnera
^{x ^ ili') En posant
q = e~ on trouvera
cp(— .r— fK') -'-^(.r-H/K')
cp [ :r 4- ( 2 /?! -h [ ) i K' I cp [ — ^ -H ( 2 m -4 I ) f' K.' ]
= I — 2^^'"-^l COS -7--
et, par suite,
<i>(x) = Il — 2 ^ COS '-- -h g''
X I I — 2^3 COS — — \- g^ j I ï — 25^^ COS --r-^ — h g^ Or il suffit que le module de g soit inférieur à l'unité pour que
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THEORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. l4l
ce produit représente une fonction complètement définie et déterminée, car la dérivée logarithmique donne cette série
T~2ârcos ^^ -^ q- I — iq^ cos-:=r^ -^ q^ i — 'iq^ co^ -:-^ -{- q^^
qui, dans ce cas, est toujours convergente, quelle que soit la valeur réelle ou imaginaire de la variable x.
En introduisant en facteur une constante A, nous poserons avec
Jacobi
ou bien
(iY^ x\ . \ = k{\ — iq co?>'ix~^ q^-)
X (i — iq^ co?>'ix H- ^6) (i — '?.q^ co^ix -\- q"^^). , ..
C'est la première des fonctions que nous voulions définir; elle vérifie les relations
e(^ -\-ii¥J) = — (è{x) e ^
qui servent de base à la théorie.
En second lieu, soit
on trouve immédiatement les relations toutes semblables aux précédentes
j U{x-h'iK) = — H(^),
^'^ i U(x^^iK')==-U(x)e~^^'"-''''\
et, pour l'expression développée, la formule
H ( ) = A.i\/q sina7(i — 2q^ cos-2X -h q^)
X (i — '2q'* 008 2 37 -\- q^) {i — iq^ ces 2^ -h q^'^). . ,.
C'est la seconde de nos fonctions fondamentales; en la divisant par la première, on obtient une fonction à double période, car, à
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l»C Lies ICiCltlUllS
i 1 ; et \ ^ ; 5 J^ M Livj 1
lis
Faisons enfin
c'est-à-dire
0j I = A ( I-h 2 9^ COS 2 37 H- 9^2 )
Hi ( ' \ = A'i\/q cosx(i -i- iq^cosix-^ q-")
X (i -I- 2^-^ co?^ti37 -4- çrS) (i -h iq^ c<y^2X -i- ^^2). . Ces deux nouvelles fonctions conduisent aux relations
f ei(3^^2iK')= 61(37)6 ^
Hi(37-^-2K) = — Hi(;r),
, 1 . Hi (.27) 61(37) ^ r •
de sorte que les quotients --- — ? -—, — ^ seront encore des lonctions
à double période qui se lient chacune à la précédente à peu près comme le sinus au cosinus, et complètent le système des trois nouvelles transcendantes dont l'étude constitue la théorie des fonctions elliptiques. Nous allons les retrouver sous une forme analytique différente, qui les rattache aux transcendantes ultraelliptiques à plusieurs variables et à périodicité multiple. Mais cette première méthode a l'avantage de donner immédiatement les racines en nombre infini des équations transcendantes qu'on ob-
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tient en égalant à zéro chacune de ces fonctions, savoir :
0 (.^) := 0, :r = 2//zK -H (9. A?i'-i- i) i'K',
(di{x) — o, ^ = ('2/?i ^- i) K -f- (2m'-f- r) jK',
m et m' désignant des nombres entiers quelconques. Aux diverses relations fondamentales que nous venons de donner, nous joindrons encore celles-ci, dont il est souvent fait usage,
H (^ -f- iK') = i& (x) e~^^'^"^'*^\ Oi (X -h ÎK') - H,(^) e~^^''"'"^'''\
Enfin nous remarquerons que ces fonctions ne changent point en y remplaçant x par X^, K et K^ par aK. et XK^ de sorte qu'on peut particulariser Tune des périodes, prendre par exemple K = i, car, de ce cas spécial, on reviendra immédiatement à nos expressions générales. Mais c'est une particularisation différente de celle-là que nous aurons à mettre en usage, et dont nous parlerons lorsqu'elle viendra naturellement s'offrir.
IJ. — Deuxième méthode.
La proposition de M. Liouville consistant en ce qu'une fonction
uniforme entière NA,;^ ^ '' , qui admet la période a, ne peut,
sans se réduire à une constante, admettre une autre période ^, conduit naturellement à rechercher l'expression analytique des fonctions à double période sous la forme fractionnaire
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Essayons, d'après cela, de déterminer Am et B,,^ par la condition
y 2 m %n 2 7n — [oc--Jrb)
^ 2 Ju '- xn ^ 2 m — (,r H- b )
^ désignant la seconde période. Faisant, pour abréger,
, /; ZTT -
il viendra, en chassant les dénominateurs,
et dans cette nouvelle égalité les coefficients d'une même expo-
i TC ,r
nentielle e "" devront être égaux.' Or on reconnaît immédiatement que ces coefficients seront les séries
de sorte qu'en mettant pour un instant n au lieu de m pour indice dans le terme général de la seconde, on sera conduit à cette égalité, qui devra avoir lieu quel que soit a :
Il pourra sembler difficile de tirer de là les fonctions inconnues Am et B^ dans toute leur généralité; aussi nous borneronsnous à chercher cette solution qui s'offre d'elle-même, et qui consiste à obtenir l'égalité des séries en les rendant identiques. Nous poserons donc
et nous imaginerons que n soit exprimé en fonction de /tz, de manière que ces deux quantités puissent représenter en même temps la série complète des nombres entiers. C'est ce qu'on ob-
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tiendra en faisant
k étant entier, et après avoir écrit l'égalité précédente sons la forme
iV^(l^-«^Ajj.,„
on trouvera ainsi
Afx— ^/?
Mais devant satisfaire, quel qne soit [x, à cette condition, on pourra poser
fji — m — k = 7n' ,
m' étant entièrement indépendant de m, ce qui donnera
^ni'+k B m-\-k
d'où l'on voit que chaque jmembre est une quantité constante. Ainsi les fonctions inconnues S.,n et B^^ sont deux solutions de cette même équation aux différences finies
^ ni-¥-k
- const.,
dont r
'intégrale
générale
est
oL dépendant de la constante du second membre, et Um devant vérifier la condition
Cette quantité a peut être particularisée, comme on le voit, sans restreindre la généralité du résultat, car il suffira pour la retrouver de changer dans la fonction x jen ^ + P ; nous la supposerons égale à zéro, et nous prendrons pour Km et B^^^ les valeurs suivantes :
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les quantités cim et bm vérifiant les conditions A.insi en faisant
i TI JC
le quotient — ^— sera l'expression d'une fonction doublement périodique, donnée par notre analyse, et il s'agit maintenant d'étudier de plus près ces séries remarquables auxquelles nous sommes conduit pour le numérateur et le dénominateur.
En premier lieu et relativement à la convergence, si l'on suppose, comme nous l'avons fait déjà, le module de i) inférieur à l'unité, le nombre entier A^ qui demeure arbitraire devra évidemment être pris positif; mais, cette condition admise, les deux séries considérées comme procédant suivant les puissances quadratiques de i] présenteront pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires delà variable la convergence la plus rapide, et dont aucnn exemple n'avait encore été donné en Analyse. En second lieu et pour saisir de quelle manière se réalise la double périodicité dans le quotient, cliangeons^ en x + 6, par exemple, dans le numérateur. On trouvera
ou bien
en ayant égard à la valeur de i] = e '' . Mais dans le terme général il est permis de remplacer m par m — /r, puisque l'indice doit recevoir toutes les valeurs entières — oc à -1- oc; on trouve ainsi et en faisant cijn-k^=- cim-,
{ni — A-)- , ,^ i'K X
jn-
anii\ '' e " ,
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de sorte que la série ]3riinitive ^(x) se reproduit en facteur. Nous écrirons cette relation fondamentale sous la forme suivante :
-k'-!l(2x-'hb)
et en observant qu'elle a été obtenue sans rien supposer sur les coefficients arbitraires a,nj nous y joindrons celle-ci :
Par là se manifeste de la manière la plus claire à quoi tient la double périodicité du quotient des deux fonctions <î>(^) et n (x). Chacune d'elles admet la période a, et, lorsqu'on j change x en X -\- h^ elles ne font qu'acquérir un même facteur exponentiel qui disparaît par Ja division (^).
Bientôt on verra le rôle important que joue le nombre entier k qui introduit au numérateur et au dénominateur k constantes arbitraires d'après les relations
Mais nous devons dès à présent remarquer qu'il est impossible de satisfaire aux conditions
par d'autres fonctions uniformes entières, que parla série précédente. Qu'on fasse, en effet, pour se placer dans cette hypothèse en vérifiant la première de ces conditions,
(1) Daas le cas où k est un nombre pair, on remarquera la relation suivante. Faisons
fonction qui ne diffère de ct>(^) qu'en ce que les constantes arbitraires a,,^ sont disposées dans un autre ordre; on aura
* ( ^ ^ - j = <t>,i ( ^ ) e 2 rt
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on plutôt
il viendra, en substituant dans la seconde égalité et en comparant les coefficients d'une même exponentielle, cimj^k = <^m- Avant d'aller plus loin, nous nous proposerons dans .une courte digression de dire quelques mots d'une généralisation aussi remarquable qu'importante des séries que nous venons de rencontrer.
m. — Aperçu sur les fonctions de plusieurs variables à périodicité multiple.
Une fonction f(^i, ^27 • • -•) ^n) de n variables peut être périodique non seulement par rapport à chaque variable considérée isolément, mais par rapport à leur ensemble, lorsqu'elle vérifie une condition de cette forme
Sous ce point de vue plus général, on a d'abord cette proposition qu'une fonction uniforme de n variables ne peut admettre plus de in périodes simultanées (^). Mais il est extrêmement remarquable et c'est à M. le D'' Riemann, de Gottingue, qu'on doit cette belle découverte analytique, qu'à l'égard des fonctions uniformes ou bien déterminées, les 'i/z périodes simultanées ne peuvent être des quantités données a priori, et indépendantes les unes des autres. Qu'on forme, en effet, avec n périodes simultanées convenablement choisies :
«1, ^2, bu ^2,
gu ^2, ••., gn,
les n fonctions linéaires
Xi — ai Xi-h bi 372+ . . . -h ^] Xa-,
X2 =^ a^Xi-^ Z?2^2-H. . .^-é'2^/^,
X„= aaXi-^baX^-\-, . .-\-gnXa'
(1) Si elle est entière, elle n'en peut admettre plus de /i.
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En posant
on aura ane fonction transformée simplement périodique par rapport à chaque variable, mais qui conservera n autres périodes simultanées, et c'est à leur égard que se manifeste dans toute sa simplicité la relation que nous voulons énoncer. Représentons-les
par
Ai, a 2 , • • • 7 A /i ,
Gj, 0-2, . . . , Qn-
La proposition de M. Riemann consiste en ce que les termes de ce Tableau qui sont placés symétriquement par rapport à la diagonale A,, Bo, . . ., G/^ sont égaux entre eux, ou, ce qui revient au même, en ce que les fonctions linéaires
Ai^?! -H A.2 ^2 -H . . . -+- A/i^,i,
G]^l + G2^2 +• • •+ Gn^n
sont les dérivées partielles d'une même forme quadratique à n indéterminées.
Voici maintenant la généralisation des séries relatives aux fonctions à double période, et qui donnent l'expression analytique des fonctions analogues à n variables et 2/1 périodes simultanées.
Représentons la forme quadratique dont il vient d'être question par cp(^, , ^o, . . ., .2?/^) et posons
''^ -21 t: [m^Jc^-hm^.T^-h. ..)-{-— '^{mij/n^. ..}
^{CUi^ ^'2, . , .^ Xn) = y (^jn^,}n^x,,..^
le signe 7 s'étendant à toutes les valeurs entières de — oc à +00 des n indices mi, 7722, ..., m,i^ et le coefficient constant a,^^^^^^ ,..^,„^^ étant assujetti à la condition de reprendre la même valeur lorsqu'on augmente du nombre entier k l'un quelconque des indices. Cette fonction est évidemment périodique à l'égard de chacune des variables considérée séparément, et voici la propriété fondamentale qui la rattache aux séries elliptiques.
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l5o OEUVRES DE CHARLES H ERMITE.
Désignons par a^, a2, .. ., a,i^ /inombres entiers arbitraires^
on aura
\ 2 a ai 2 aa^ i dan
Cette relation ne contenant pas les constantes a,,^^^ „^^^ ..., w„5 ^^^^^^ autre série Wi^x^-^ ^o? •••? ^iî)^ où ces constantes auront des déterminations différentes, donnera de même
„ / I <icp \ d'^ I d'^
\ 2 r/ai 2 ««2 2 daa
Il en résulte crue le quotient -— — - — "' ' ' '' ' '\ représentera une
A ' 0(37,, .^2, . . ., Xn.) ^
fonction de n variables k in périodes, n d'entre elles égales à l'unité et appartenant séparément à chaque variable, les n autres étant les termes du Tableau dont on a déduit la forme quadratique cj(^'i, .To, . . ., x,i)' Elles résultent efPectivement des égalités précédentes, en j supposant successivement nuls, sauf un seul qu'on prendra égal à l'unité, les nombres entiers a^, a^, .... an- Nous voyons aussi figurer dans les séries un entier k dont dépend le nombre des constantes arbitraires qu'elles renferment; or ce nombre sera limité et fini, lorsque la condition suivante, dont la découverte appartient encore à M. Riemann, sera remplie. Soit
un système de /^- constantes arbitraires, il sera nécessaire et suffisant que les fonctions
f(^l+5i, ^2-1- -52, . > ., Xn-V- Sn),
égalées à zéro ou à l'infini, n'admettent qu'un nombre fini et limité de solutions qu'on ne puisse réduire les unes aux autres en ayant égard aux périodes.
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T H h: O R I E DES F O N G P I O N S ELLIPTIQUES. I 5 l
C'est à Gupel et à M. Rosenhain qu'est due la première notion des séries dont nous venons de parler, et leur application dans le cas de deux variables, à l'expression des fonctions inverses des intégrales de radicaux carrés de polynômes du cinquième ou du sixième degré. M. Weierstrass, dépassant de beaucoup les résultats obtenus par ces deux illustres analystes, résolut dans toute sa généralité à l'aide des mêmes séries le problème de l'inversion des intégrales de radicaux carrés de polynômes de degré quelconque. Après lui, en suivant une voie toute différente, M. Riemann parvint aux mêmes résultats, et c'est dans le champ plus vaste encore des transcendantes à différentielles algébriques quelconques que ces deux grands Géomètres se rencontrèrent en obtenant en même temps la solution du problème si général de l'inversion des intégrales de fonctions algébriques quelconques, l'une des plus belles et des plus importantes questions qui se soient jamais offertes en Analyse.
IV. — Comparaison entre les expressions sous forme de produits infinis et de séries des fonctions 0 et tl.
Nous venons, dans un rapide aperçu, de montrer le lien et l'analogie des séries cjui donnent l'expression des fonctions doublement périodiques à une seule variable, et de celles qui conduisent aux transcendantes abéliennes les plus générales. Mais le cas le plus simple dont nous allons nous occuper exclusivement est le seul où ait lieu une décomposition en facteurs que ne comportent aucunement les cas les plus généraux où les séries renferment deux ou un plus grand nombre de variables. Le rapprochement de ces deux genres d'expressions se présente de lui-même, et résulte de ces relations qui ont été précédemment données et que nous réunissons ici :
e (^-t- 'lili') z= — %{x)e '^ ■''"^' ",
H {x-\-o.iK')^ __ H (^)e K '■''■^' ' ^
Oi
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Comme on a évidemment
on voit que les fonctions 0(^) et H(^) satisfont toutes deux à ces conditions
et les fonctions 0,(^) et ¥[^(x) à celles-ci, pour une raison semblable,
Mais ce sont précisément celles cfue vérifie l'expression générale
lorsqu'en supposant le nombre k égal à 2, on prend pour périodes
Les constantes am se réduisent alors à deux, a^ et a^ , et, comme elles suffisent, ainsi que nous l'avons établi, à représenter la solution de ces équations la plus générale par des fonctions entières, en leur attribuant des valeurs convenables, les fonctions 6^ (x) et R^(œ) seront données par la série
,.cin>i]'' e
n^ iTZjc
.cim^' e « = «0 7, T ^ -*-<^i
1 (2'" + ^)-nr
Cette détermination résulte d'ailleurs immédiatement des conditions
on remarque en effet que les séries qui multiplient a^^ et a^ vérifient respectivement la première et la seconde, de sorte qu'on
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THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. Io3
en désignant par a et |3 des quantités constantes. Si Ton remplace les exponentielles par les lignes trigonométriques et la variable x
par -^ on obtiendra ces développements remarquables
a 01 ( J = I -+- 2^ Q.Q^-'ix -4-2^* ces 4^ -+- icf ces 6 5^' -4-. . . ,
pHi ( ) = i\/q Q,o?>x -}- '2\/q'^ ces 3^ -f- s y/ ^^o cosoa? -1-. . . .
En y remplaçant x par ^ H , on en déduira
a8 ( ^^- ) = I — 2^ COS2;37 -|-2^*cos4^ — ?'^^ cos6^ -t-. . . ,
(BH f ^^ i = 2 v^^ sin^ — 2\/^'J sinS:?^ H- 2 y/^^s sin5^ — . . . .
D'ailleurs, en ayant égard à la relation
on trouvera que les deux constantes a et |B sont égales entre elles. Voici donc entre les séries et les produits infinis des relations d'identité extrêmement dignes d'intérêt, et auxquelles bien d'autres méthodes pourraient conduire. Jacobi, le premier auteur de leur découverte, et M. Cauch}^, en ont donné plusieurs qui sont tout à fait élémentaires, mais c'est surtout la suivante qui appartient à M. Gauchy, et présente ce caractère ainsi qu'on va le voir.
Considérons avec l'illustre Géomètre le polynôme entier et fini
== H- Al ^ -H A2 5^ -H . . . -h A/^,^'^
La relation identique
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l54 OEUVRES DE CHARLES HE R MITE.
donne cette suite d'égalités
Ai(i— ^) =- I - q'\
d'où l'on déduit immédiatement
Cela posé, nommons un instant ^(^) ce que devient ^(^) en y remplaçant q par q- ^ n par 'in et ^ par ^^^ ■ Si l'on fait
on trouvera aisément a/ au moyen de A/, et, en introduisant n -^ i pour indice, on aura cette expression
Le nombre entier i doit être regardé comme recevant toutes les valeurs de — /2 à -K /z, mais on peut se borner par exemple aux valeurs positives, car on vérifie sans peine la relation
il en résulte pour ^{z) cette forme
<î>(^)= art^«-4- a,i+i(2^'-iH-^/i+i)
ou encore
cï>(^) ^ a,.- [iH- ^^ (^ + ^-1) + ^ii±! (^2 ^. ^-2) +. . . ] .
L ^n ^ti J
Mais revenons à la valeur de ^{z) sous forme de produit, et observons d'abord qu'en remplaçant q par q- et n par in dans f (^), il vient
(i + 2) (i-h q'iz){\-^ q^z). . .{i^ q'^f^-^-z)
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THÉORIE DKS FONCTIONS ELLIPTIQUES. l55
de sorte qu'en mettant en dernier lieu — ^tj^t ^^ li^^^ de z^ on trouvera
Or on peut écrire autrement les facteurs du premier produit, en
remarquant que
cela donne pour ^{z) cette nouvelle valeur
Telle est la forme définitive du produit de facteurs dont nous avons le développement suivant les puissances de z. En faisant, pour abréger,
c'est-à-dire
l'identité algébrique que nous venons d'obtenir s'écrira ainsi
et par suite, en faisant z = ^-^^,
(l-H 2^ 008 2 37 + ^2) (H- 2^^ 005 2 37 + ^^ j . (i ^ 'iÇ^^/i-l COS2 37 -H ^*«-2)
= 5l/i(i -i- 2ai^ COS237 H- ^112^^ COS437 -F. . .-t- 211/^^"" ç.o^inx).
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l56 OEUVRES DE CHARLES H ERMITE.
Or on a pour n infini
et l'identité algébrique fournit l'importante propriété de la transcendante 6^(^), exprimée par la relation
(i -h 2q cos2^ -^9^) (i -^ '^Ç^ COS2.37 -h q^) (i -+- 2q^ C0S1CC -^ q^^) . . .
I -h 2q cos'ia^ ^ 2q^ cos4^-H '2q^ cos6^ -h. . . ^ (i-^2)(i-ry4)(l-^6)...
Ce résultat nous conduit à préciser complètement la définition première que nous avons donnée des quatre fonctions 0(^), H(^), @^ (^), H^ (^*), en les représentant par un produit de facteurs affecté d'un coefficient A resté jusqu'ici arbitraire. Nous ferons
désormais
A = (1- qn(l- q^) {i- q^) {l~ q^). . .,
et nous aurons de la sorte
Si l ■ j = i -^ iq C0S1CÛ -f- 2q^ cos4^ 4- ?-^^ cos6a7 H- . . . .
En partant de là et à l'aide de la relation
0j(^-t-.-K')-Hi(^)6 1k^'^'^'''\
on aura ensuite
Hi ( ) = 2 /^ cos^ -f- 2 \J q'^ cos3^ -}- -ii/^^s cosôiï^ -H. . .,
et ces deux formules, en j changeant ^ en ^ -f . donneront
© ( ) ~ ^ — '^9 cosaa? -H 2^^ cos4^ — 2^^ cos6^ -
= 2y/^ sina? — 2 y ^9 sin3^ h- 2 y/^^^ sin5a7 -
Telles sont sous les formes de produits infinis et de séries les transcendantes dont nous allons établir les propriétés.
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Des deux formes principales que peuvent prendre parmi une infinité d^autres les fonctions S, H, etc.
Ce point touclie à la plus belle partie de la théorie des fonctions elliptiques, à la théorie de la transformation, que les bornes de cette Note ne nous permettent point d'aborder. Mais, indépendamment de leur intérêt propre, les formules que nous allons établir et qui donnent cette transformation spéciale des fonctions B, H, etc., où Ton remplace l'une par l'autre les quantités K et iEJ^ nous seront indispensables plus tard, et 'nous devons d'autant moins les omettre qu'il est extrêmement facile d'j parvenir, comme on va voir. D'ailleurs, on sera mis ainsi [sur la voie de la recherche analogue et plus générale, où l'on remplace K et ^:K par mK -\- m' iKJ ^ /?K -|- n' iK'^ m, m'^ /2, n' désignant des nombres entiers, et qui constitue le sujet même de la théorie de la transformation. Dans le cas où mn' — m' n ^=i i, on est amené à ce que Jacobi nomme la théorie des formes en nombre infini des fonctions 0, H, etc. ; mais, parmi toutes ces formes, ce sont celles que nous allons établir et dont nous aurons à faire usage, qui méritent d'être particulièrement distinguées. Posons
6 ix) = e*Ki^'0 (^),
Tj (x) = e^K^^' H (37),
