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ei(^)=: e^^KK'ei(a7),

U je-

on verra immédiatement correspondre aux relations fondamentales propres aux fonctions 0, H, (^^, H^, à savoir :

B (x -+-K)= 01 {x), H (^ + K)= Hi(:r), e.i{x-+-K) = e (x), Hi(^-hK) = — H(^),

@ (x^ iK') = m(x)e ^1^

H {x -^ iK')= ie (x) e ^^^ 01 (^

iK') = Ei(x) e ^^^

l E,{x-^iK')=:&,(x)e 4K^'^'-^''^\

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celles-ci :

^^^ j ei(;r-i-n<:') = 'oi(^),

-r) (^-H K) = rii(x) e^^^' ,

Cela posé, remplaçons les équations (a) parles suivantes, qui évidemment leur sont équivalentes :

\ H (^K)=-Hi(^;, ^^ ^ 01 (^— K) == 0(^),

( Hi(:27- K)=: 1{(CC).

Alors, en comparant les équations (a^) et (b) aux équations (c) et (d)^ on remarque que le second système de relations coïncide avec le premier lorsqu'on y remplace d'une part

K et iK' respectivement par

iK' et — K,

et de l'autre

6(a?), Tj(a7), 61(37), 'r]i(^)

Hi(^), \u(cc), e,(cc), Q(x).

Les nouvelles fonctions que nous avons introduites se trouvent ainsi ramenées aux anciennes et, si l'on remarque que par le chan-

gement de K en îK'^ et de i¥^' en — K la quantité q ^= e ^^ de-

vient qQ=: e ^% on aura en conclusion les expressions suivantes,

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17] ( ■ 1 = M .2 y Ço sin^ (r — iq^ cosicu -\- ql)

THÉORIJi DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. I Sg

OÙ M et N désignent deux facteurs constants :

/ 0 i\\ ce \ ! /

I ° 0 f j = M . 'i y qo ces .27 ( I + '2 ^2 ^^s 'hx ^ q\)

X ( I + 2 ^7 J ces '2 ,27 -1- ^ g ) ( [ + -2 ^ g ces 2 ^ + ^ J ^ ), . . . ,

X {l — 'iq\ cos'2,27 ^- q\){\ — -iql ces 2^ + ^o^): • • • i

X (l -H 29^15 C0S2JC + ^J )([ H- 2^§ ces 2^ -}- ^J'^)? ' • • î

/2fK'^\ ï] 1 ( j = M ( [ — 2 ^0 COS 2 ^ -h ^ f, )

X {\ — iq\ C0S2^' + ^S )(l — 2 9§ C0S2^-1- ^J^), . . .,

6 ( ) = N (2 \/^o cos;r+ "^y q% cos3^-|- 2 v/^§^ ces 5^ -h . . .),